Was ist mit dem Begriff "exponentielle Familie" gemeint? Warum heißt es so?

Ich bin auf den Begriff exponentielle Familie gestoßen .

Die Bernoulli-, Gaußschen und viele weitere Verteilungen fallen unter diese exponentielle Familie.

Was wären die Gemeinsamkeiten zwischen ihnen?

terminology exponential-family subha
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Nur ein kurzer Tipp: youtu.be/nLKOQfKLUks?list=PLJ_CMbwA6bT-n1W0mgOlYwccZ-j6gBXqE Ich fand diesen Vortrag von Andrew Ng sehr nützlich, um das Konzept exponentieller Familienverteilungen zu verstehen , wie süße Kool-Aid.

MJW

Antworten:

Sie werden "exponentielle Familie" genannt, weil sie alle in der einfachen Form geschrieben werden können

f_{X} (x | θ) = \exp (η (θ) \cdot T (x) - A (θ) + B (x))

$f_X(x|\theta) = \exp \left (\eta(\theta) \cdot T(x) - A(\theta) + B(x) \right )$

Es gibt einige andere, äquivalente Formen, die vielleicht häufiger verwendet werden, aber ich denke, diese Form macht den "exponentiellen" Teil am klarsten.

Siehe zum Beispiel diesen Abschnitt der Wikipedia-Seite zur Exponential-Familie .

$^{[1]}$

$T$ $\theta$

Eine Reihe zusätzlicher Eigenschaften, die alle gemeinsam haben, sind hier zusammengefasst .

$p$

Die gemeinsamen Eigenschaften ermöglichen eine gewisse Standardisierung ihrer Behandlung, was zur weit verbreiteten Verwendung von generalisierten linearen Modellen (GLMs) führt.

[1] Koopman, BO, (1936),
"Über Verteilungen, die eine ausreichende Statistik zulassen ",
Transactions of the American Mathematical Society , 39 : 3, 399-409.

Glen_b -Reinstate Monica
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