Im ersten Teil haben Sie angegeben, dass Sie ein „gültiges“ Instrument haben. Dies impliziert für eine binäre Behandlung und ein binäres Instrument, dass äquivalent zu P ( D i = 1 | Z i = 1 ) ≠ P ( D i = 1 | Z i = 0 ) ist.Cov(Di,Zi)≠0P(Di=1|Zi=1)≠P(Di=1|Zi=0)Das heißt, das Instrument hat einen Einfluss darauf, ob die Behandlung gewählt wird oder nicht. Diese Beobachtung, die auch im Papier von Angrist und Imbens erwähnt werden sollte, ist der Schlüssel für den Rest ihres Beweises. Für die erste Stufe nehmen sie an, dass , was bedeutet, dass die Anzahl der Complier ( C i ) größer ist als die der Defier ( F i ).P(Di=1|Zi=1)>P(Di=1|Zi=0)Ci)Fi
Mit der Ausschlussbeschränkung (für jedes { 0 ; 1 } gilt Y i z = Y i 0 z = Y i 1 z , dh das Instrument hat keinen direkten Einfluss auf das Ergebnis) können Sie den Unterschied in schreiben der Anteil der Komplizen und Trotzigen an der Bevölkerung als
z∈0;1Yiz=Yi0z=Yi1z ZiP(Fi)=0P(Ci)=P(Di=1|Zi=1)-P(Di=1|Zi=0).
P.( D.ich= 1 | Z.ich= 1 ) - P.( D.ich= 1 | Z.ich= 0 )= P.( D.i 1= 1 | Z.ich= 1 ) - P.( D.i 0= 1 | Z.ich= 0 )= P.( D.i 1= 1 ) - P.( D.i 0= 0 )= [ P.( D.i 1= 1 , D.i 0= 0 ) + P.( D.i 1= 1 , D.i 0= 1 ) ]- [ P.( D.i 1= 0 , D.i 0= 1 ) + P.( D.i 1= 1 , D.i 0= 1 ) ]= P.( C.ich) - P.( F.ich)
wobei der zweite Schritt die Unabhängigkeit verwendet, um die Konditionierung auf zu da potenzielle Ergebnisse unabhängig von der sind Instrument. Der dritte Schritt verwendet das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit. Im letzten Schritt müssen Sie dann nur die Monotonie verwenden, die grundsätzlich davon ausgeht, dass es keine Defier gibt, also ist und Sie erhalten
Z.ichP.( F.ich) = 0P.( C.ich) = P.( D.ich= 1 | Z.ich= 1 ) - P.( D.ich= 1 | Z.ich= 0 ) .
Dies wäre Ihr Koeffizient der ersten Stufe in einer 2SLS-Regression. Die Annahme der Monotonie ist hierfür von entscheidender Bedeutung, und man sollte sich überlegen, warum sie möglicherweise verletzt wird (die Monotonie kann jedoch gelockert werden, siehe zum Beispiel
de Chaisemartin (2012) „Alles, was Sie brauchen, ist SPÄT“ ).
Der zweite Teil des Beweises folgt einem ähnlichen Weg. Dazu müssen Sie bedenken, dass der beobachtete Behandlungsstatus
da Sie nicht beide potenziellen Ergebnisse für dieselbe Person beobachten können. Auf diese Weise können Sie das beobachtete Ergebnis mit dem potenziellen Ergebnis, dem Behandlungsstatus und dem Instrument in als
für den zweiten Teil des Beweises die Differenz des erwarteten Ergebnisses bei ein- und eingeschaltetem Instrument und verwenden Sie die vorherige Darstellung der beobachteten Ergebnisse und die Ausschlussbeschränkung in der erste Schritt zu bekommen:
D.ich= Z.ichD.i 1+ ( 1 - Z.ich) D.i 0
Y.ich= ( 1 - Z.ich) ( 1 - D.ich) Y.i 00+ Z.ich( 1 - D.ich) Y.i 10+ ( 1 - Z.ich) D.ichY.i 01+ Z.ichD.ichY.i 11
E.( Y.ich| Z.ich= 1 ) - E.( Y.ich| Z.ich= 0 )= E.( Y.i 1D.ich+ Y.i 0( 1 - D.ich) | Z.ich= 0 )- E.( Y.i 1D.ich+ Y.i 0( 1 - D.ich) | Z.ich= 1 )= E.( Y.i 1D.i 1+ Y.i 0( 1 - D.i 1) | Z.ich= 1 )- E.( Y.i 1D.i 0+ Y.i 0( 1 - D.i 0) | Z.ich= 0 )= E.( Y.i 1D.i 1+ Y.i 0( 1 - D.i 1) )- E.( Y.i 1D.i 0+ Y.i 0( 1 - D.i 0) )= E.( ( Y.i 1- Y.i 0) ( D.i 1- D.i 0) )= E.( Y.i 1- Y.i 0| D.i 1- D.i 0= 1 ) P.( D.i 1- D.i 0= 1 )- E.( Y.i 1- Y.i 0| D.i 1- D.i 0= - 1 ) P.( D.i 1- D.i 0= - 1 )= E.( Y.i 1- Y.i 0| C.ich) P.( C.ich) - E.( Y.i 1- Y.i 0| F.ich) P.( F.ich)= E.( Y.i 1- Y.i 0| C.ich) P.( C.ich)
Das war ziemlich viel Arbeit, aber es ist nicht schlecht, wenn Sie die Schritte kennen, die Sie unternehmen müssen. Verwenden Sie für die zweite Zeile erneut die Ausschlussbeschränkung, um die möglichen Behandlungszustände aufzuschreiben. Verwenden Sie in der dritten Zeile die Unabhängigkeit, um die Konditionierung auf wie zuvor zu . In der vierten Zeile berücksichtigen Sie nur die Begriffe. Die fünfte Zeile verwendet das Gesetz der iterierten Erwartungen. Die letzte Zeile entsteht aufgrund der Monotonie-Annahme, dh . Dann müssen Sie nur noch als letzten Schritt teilen und gelangen zu
Z.ichP.( F.ich) = 0
E.( Y.i 1- Y.i 0| C.ich)= E.( Y.ich| Z.ich= 1 ) - E.( Y.ich| Z.ich= 0 )P.( C.ich)= E.( Y.ich| Z.ich= 1 ) - E.( Y.ich| Z.ich= 0 )P.( D.ich= 1 | Z.ich= 1 ) - P.( D.ich= 1 | Z.ich= 0 )= E.( Y.ich| Z.ich= 1 ) - E.( Y.ich| Z.ich= 0 )E.( D.ich|Z.ich= 1 ) - E.(D.ich|Z.ich= 0 )
da und binär sind. Dies sollte zeigen, wie Sie die beiden Beweise kombinieren und wie sie zum endgültigen Ausdruck gelangen.
D.ichZ.ich