Ist das negative Binom nicht wie in der Exponentialfamilie ausdrückbar, wenn es 2 Unbekannte gibt?

Ich hatte eine Hausaufgabe, um die negative Binomialverteilung als exponentielle Verteilungsfamilie auszudrücken, da der Dispersionsparameter eine bekannte Konstante war. Das war ziemlich einfach, aber ich fragte mich, warum sie erfordern würden, dass wir diesen Parameter festhalten. Ich stellte fest, dass ich keinen Weg finden konnte, es in die richtige Form zu bringen, da die beiden Parameter unbekannt waren.

Als ich online schaute, fand ich Behauptungen, dass dies nicht möglich ist. Ich habe jedoch keinen Beweis dafür gefunden, dass dies wahr ist. Ich kann mir auch selbst keinen einfallen lassen. Hat jemand einen Beweis dafür?

Wie unten angefordert, habe ich einige der Ansprüche beigefügt:

"Die Familie der negativen Binomialverteilungen mit einer festen Anzahl von Fehlern (auch als Stoppzeitparameter bezeichnet) r ist eine exponentielle Familie. Wenn jedoch einer der oben genannten festen Parameter variieren darf, ist die resultierende Familie keine exponentielle Familie. "" http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family

"Die negative Binomialverteilung mit zwei Parametern gehört nicht zur Exponentialfamilie. Wenn wir den Dispersionsparameter jedoch als bekannte feste Konstante behandeln, ist er ein Mitglied." http://www.unc.edu/courses/2006spring/ecol/145/001/docs/lectures/lecture21.htm

self-study mathematical-statistics negative-binomial proof exponential-family Larry
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Ich habe einige der obigen Behauptungen hinzugefügt.

Larry

Antworten:

Wenn Sie die Dichte der negativen Binomialverteilung gegen das Zählmaß über die Menge der ganzen Zahlen betrachten, Der Teil in dieser Dichte kann nicht sein ausgedrückt als .

\begin{aligned} p (x | N, p) & = (\binom{x + N - 1}{N - 1}) p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1)!}{x! (N - 1)!} p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1) \dots (x + 1)}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} \\ = \frac{\exp {N \log (p)}}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} (x + N - 1) \dots (x + 1) \end{aligned}

$\begin{align*}p(x|N,p)&={x+N-1\choose{N-1}}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)!}{x!(N-1)!}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)\cdots(x+1)}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}\\ &= \frac{\exp\left\{N\log(p)\right\}}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}(x+N-1)\cdots(x+1)\end{align*}$

(x + N - 1) \dots (x + 1)

$(x+N-1)\cdots(x+1)$

\exp {A (N)^{T} B (x)}

$\exp\left\{ A(N)^\text{T}B(x)\right\}$

Xi'an
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