Beobachtete Fisher-Informationen während einer Transformation

Aus "In All Likelihood: Statistische Modellierung und Inferenz unter Verwendung von Likelihood" von Y. Pawitan wird die Wahrscheinlichkeit einer Neuparametrisierung als so dass, wenn g eins zu eins ist, L ^ * (\ psi) = L (g ^ {- 1}) (\ psi)) (S. 45). Ich versuche, Übung 2.20 zu zeigen, die besagt, dass wenn \ theta skalar ist (und ich nehme an, dass g auch eine Skalarfunktion sein soll), I ^ * (g (\ hat {\ theta})) = I ( \ hat {\ theta}) \ left | \ frac {\ partielles g (\ hat {\ theta})} {\ partielles \ hat {\ theta}} \ right | ^ {- 2}, wobei ich (\ theta) = - \ frac {\ partiell ^ 2} {\ partiell \ theta ^ 2} l (\ theta) $\theta\mapsto g(\theta)=\psi$

$$L^*(\psi)=\max_{\{\theta:g(\theta)=\psi\}} L(\theta)$$ $g$$L^*(\psi)=L(g^{-1}(\psi))$$\theta$$g$ $$I^*(g(\hat{\theta}))=I(\hat{\theta})\left|\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}\right|^{-2},$$ $$I(\theta)=-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} l(\theta)$$ ist die beobachtete Fisher-Information und $l(\theta)=\log L(\theta)$ .

Wenn $g$ eins zu eins ist, ist dies unter Verwendung der Kettenregel und des Invarianzprinzips einfach. Ich wundere mich nur über ein paar Dinge:

1. Warum besteht er darauf, den absoluten Wert zu schreiben? Das könnte weggelassen werden, oder?
2. Mit $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}$ meint er die Funktion $\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}$ die bei \ ausgewertet wird Theta = \ hat {\ Theta}$\theta=\hat{\theta}$ , richtig? Wenn dies der Fall ist, ist es dann nicht eine schlechte Wahl der Notation? Ich glaube, dass die übliche Kurzschreibweise für dieses Wor \ frac {\ partielles g (\ hat {\ theta})} {\ partielles \ theta} lautet $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \theta}$.
3. Wie wird dies gezeigt, wenn $g$ nicht unbedingt eins zu eins ist?

1. Der absolute Wert ist nicht erforderlich. Es kann nur ein Tippfehler sein.

2. Du hast Recht. Eine noch bessere Notation wäre .$\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}$

3. Es gilt im Allgemeinen nicht. einige und definieren Sie durch . Die rhs wären undefiniert, da die Ableitung für jedes Null ist .$\psi_0$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$g(\theta)=\psi_0$$\theta$

Eine Skizze des regulären Falles:

Für glattes Eins-zu-Eins- mit . Da , haben wir Daher $g$$\psi=g(\theta)$$d/d\psi = d\theta/d\psi\cdot d/d\theta$

$$\begin{align} I^*(\psi) &= -\frac{d^2L^*(\psi)}{d\psi^2} = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\psi} \right) = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\theta} \frac{d\theta}{d\psi}\right) \\ &= - \frac{d^2L^*(\psi)}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(\psi)}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi}\, . \end{align}$$ $$\begin{align} I^*(g(\hat{\theta})) &= -\frac{d^2L^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= -\frac{d^2L(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta^2} \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=g^{-1}(g(\hat{\theta}))}\right)^{-2} - \frac{dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= I(\hat{\theta}) \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}\right)^{-2} \, , \end{align}$$ in dem wir .$dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))/d\theta=dL(\hat{\theta})/d\theta=0$