Beobachtete Fisher-Informationen während einer Transformation

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Aus "In All Likelihood: Statistische Modellierung und Inferenz unter Verwendung von Likelihood" von Y. Pawitan wird die Wahrscheinlichkeit einer Neuparametrisierung als so dass, wenn g eins zu eins ist, L ^ * (\ psi) = L (g ^ {- 1}) (\ psi)) (S. 45). Ich versuche, Übung 2.20 zu zeigen, die besagt, dass wenn \ theta skalar ist (und ich nehme an, dass g auch eine Skalarfunktion sein soll), I ^ * (g (\ hat {\ theta})) = I ( \ hat {\ theta}) \ left | \ frac {\ partielles g (\ hat {\ theta})} {\ partielles \ hat {\ theta}} \ right | ^ {- 2}, wobei ich (\ theta) = - \ frac {\ partiell ^ 2} {\ partiell \ theta ^ 2} l (\ theta) θg(θ)=ψ

L(ψ)=max{θ:g(θ)=ψ}L(θ)
gL(ψ)=L(g1(ψ))θg
I(g(θ^))=I(θ^)|g(θ^)θ^|2,
I(θ)=2θ2l(θ)
ist die beobachtete Fisher-Information und l(θ)=logL(θ) .

Wenn g eins zu eins ist, ist dies unter Verwendung der Kettenregel und des Invarianzprinzips einfach. Ich wundere mich nur über ein paar Dinge:

  1. Warum besteht er darauf, den absoluten Wert zu schreiben? Das könnte weggelassen werden, oder?
  2. Mit g(θ^)θ^ meint er die Funktion g(θ)θ die bei \ ausgewertet wird Theta = \ hat {\ Theta}θ=θ^ , richtig? Wenn dies der Fall ist, ist es dann nicht eine schlechte Wahl der Notation? Ich glaube, dass die übliche Kurzschreibweise für dieses Wor \ frac {\ partielles g (\ hat {\ theta})} {\ partielles \ theta} lautet g(θ^)θ.
  3. Wie wird dies gezeigt, wenn g nicht unbedingt eins zu eins ist?
Stefan Hansen
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Antworten:

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  1. Der absolute Wert ist nicht erforderlich. Es kann nur ein Tippfehler sein.

  2. Du hast Recht. Eine noch bessere Notation wäre .dg(θ)dθ|θ=θ^

  3. Es gilt im Allgemeinen nicht. einige und definieren Sie durch . Die rhs wären undefiniert, da die Ableitung für jedes Null ist .ψ0g:RRg(θ)=ψ0θ

Eine Skizze des regulären Falles:

Für glattes Eins-zu-Eins- mit . Da , haben wir Daher gψ=g(θ)d/dψ=dθ/dψd/dθ

I(ψ)=d2L(ψ)dψ2=ddψ(dL(ψ)dψ)=ddψ(dL(ψ)dθdθdψ)=d2L(ψ)dθ2(dθdψ)2dL(ψ)dθd2θdψ2dθdψ.
I(g(θ^))=d2L(g(θ^))dθ2(dθdψ)2dL(g(θ^))dθd2θdψ2dθdψ=d2L(g1(g(θ^)))dθ2(dg(θ)dθ|θ=g1(g(θ^)))2dL(g1(g(θ^)))dθd2θdψ2dθdψ=I(θ^)(dg(θ)dθ|θ=θ^)2,
in dem wir .dL(g1(g(θ^)))/dθ=dL(θ^)/dθ=0
Zen
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Vielen Dank, dass Sie alle meine Zweifel angesprochen haben und für dieses einfache Gegenbeispiel mit der Konstanten . Ihre Skizze des regulären Falls ähnelt der, die ich gemacht habe, also ist alles gut. Vielen Dank. g
Stefan Hansen