Man betrachte eine Urne mit Kugeln mit verschiedenen Farben, wobei der Anteil der Kugeln mit der Farbe unter den Kugeln ist ( ). Ich zeichne Kugeln aus der Urne ohne Ersatz und Blick auf die Anzahl verschiedener Farben unter den Kugeln , die gezogen wurden. Was ist die Erwartung von als Funktion von in Abhängigkeit von geeigneten Eigenschaften der Verteilung ?
Um mehr Einblick zu geben: wenn und für all , dann werde ich immer genau sehen , Farben, das heißt, . Andernfalls kann gezeigt werden , dass die Erwartung von ist . Für festes und scheint der Faktor, mit dem multipliziert wird , maximal zu sein, wenn ist einheitlich; vielleicht ist die erwartete Anzahl verschiedener Farben als Funktion von und z. B. der Entropie von p begrenzt ?
Dies scheint mit dem Problem des Kuponsammlers verbunden zu sein, mit der Ausnahme, dass die Probenahme ersatzlos durchgeführt wird und die Verteilung der Kupons nicht gleichmäßig ist.
Antworten:
Angenommen , Sie haben Farben , bei denen k ≤ N . Lassen b i die Anzahl der Kugeln Farbe bezeichnen i so Σ b i = N . Sei B = { b 1 , … , b k } und notiere E i ( B ) die Menge, die aus den i- Element-Teilmengen von B besteht . Lassen Q n , c bezeichnen die Anzahl der Möglichkeiten können wir wählen nk k≤N bi i ∑bi=N B={b1,…,bk} Ei(B) i B Qn,c n Elemente aus der obigen Menge, so dass die Anzahl der verschiedenen Farben in der gewählten Menge . Für c = 1 ist die Formel einfach:c c=1
Für wir Sätze von Kugeln der Größe n zählen, die höchstens 2 Farben haben, abzüglich der Anzahl von Sätzen, die genau 1 Farbe haben:c=2 n 1
Also note that(xy)=0 if y>x .
Probably there are special cases where the formula can be simplified. I didn't bother to find those simplifications this time.
The expected value you're looking for the number of colors dependent onn is the following:
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