Warum ist die Stichprobenverteilung der Varianz eine Chi-Quadrat-Verteilung?

Die Aussage

Die Stichprobenverteilung der Stichprobenvarianz ist eine Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad von , wobei n die Stichprobengröße ist (vorausgesetzt, die interessierende Zufallsvariable ist normalverteilt).$n-1$$n$

Quelle

Meine Intuition

Es ist für mich intuitiv sinnvoll, 1) weil ein Chi-Quadrat-Test wie eine Summe aus Quadrat und 2) weil eine Chi-Quadrat-Verteilung nur eine Summe aus einer quadratischen Normalverteilung ist. Trotzdem verstehe ich es nicht gut.

Frage

Ist die Aussage wahr? Warum?

[Aus der Diskussion in Ihrer Frage gehe ich davon aus, dass Sie gerne annehmen, dass, wenn unabhängig sind, N ( 0 , 1 ) Zufallsvariablen identisch verteilt sind, dann ∑ k i = 1 Z 2 i ≤ ≤ 2 k .]$Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Formal folgt das Ergebnis, das Sie benötigen, aus dem Satz von Cochran . (Obwohl es auf andere Weise gezeigt werden kann)

Berücksichtigen Sie weniger formal, dass, wenn wir den Populationsmittelwert kennen und die Varianz darüber schätzen (und nicht über den Stichprobenmittelwert): , danns 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ (Zi=(Xi-μ)/σ), was$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ mal eineχ 2 n Zufallsvariable.$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

Die Tatsache , daß die Probe Mittelwert verwendet wird, anstelle der Bevölkerung mean ( ) macht die Summe der Quadrate der Abweichungen kleiner, aber in nur so , daß Σ n i = 1 ( Z ∗ i ) $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ (dazu siehe Satz von Cochran). Daher, anstatt n s 2 0 / σ 2 ~ χ 2 n wir haben jetzt ( n - 1 ) s 2 / σ 2 ~ χ 2 n - 1 .$\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$