Welches Verhältnis der unabhängigen Verteilungen ergibt eine Normalverteilung?

Das Verhältnis zweier unabhängiger Normalverteilungen ergibt eine Cauchy-Verteilung. Die t-Verteilung ist eine Normalverteilung geteilt durch eine unabhängige Chi-Quadrat-Verteilung. Das Verhältnis von zwei unabhängigen Chi-Quadrat-Verteilungen ergibt eine F-Verteilung.

Ich suche ein Verhältnis unabhängiger stetiger Verteilungen, das eine normalverteilte Zufallsvariable mit mittlerem $\mu$ und Varianz ergibt ?$\sigma^2$

Es gibt wahrscheinlich unendlich viele mögliche Antworten. Können Sie mir einige dieser möglichen Antworten geben? Ich würde es besonders begrüßen, wenn die beiden unabhängigen Verteilungen, deren Verhältnis berechnet wird, gleich sind oder zumindest eine ähnliche Varianz haben.

Sei wobeiEeine Exponentialverteilung mit Mittelwert2σ2undZ=±1mit gleicher Wahrscheinlichkeit hat. SeiY2=1/$Y_1 = Z \sqrt{E}$$E$$2 \sigma^2$$Z = \pm 1$ wobeiB≤Beta(0,5,0,5) ist. UnterAnnahme(Z,E,B)voneinander unabhängig, dannY1unabhängig davon istY2undY1/Y2~Normale(0,σ2). Daher haben wir$Y_2 = 1 / \sqrt{B}$$B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$$(Z, E, B)$$Y_1$$Y_2$$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

1. unabhängig von Y 2 ;$Y_1$$Y_2$
2. Beide kontinuierlich; so dass
3. .$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

Ich habe nicht herausgefunden, wie man ein bekommt . Es ist schwieriger zu sehen, wie dies zu tun ist, da das Problem sich darauf reduziert, A und B zu finden, die so unabhängig sind, dass A - B $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$$A$$B$ das ist ziemlich viel härter alsmachenA/B~Normale(0,1)für unabhängigAundB.

$$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$$ $A/B \sim \text{Normal}(0,1)$$A$$B$

Ich würde es besonders begrüßen, wenn die beiden unabhängigen Verteilungen, deren Verhältnis berechnet wird, gleich sind 

Es gibt keine Möglichkeit , dass eine normale Variable kann als ein Verhältnis von zwei unabhängigen Variablen mit der geschrieben wird gleiche Verteilung oder Verteilungsfamilie (wie die F-Verteilung , die das Verhältnis von zwei skaliert wird $\chi^2$ verteilte Variablen oder die Cauchy-Verteilung , die ist das Verhältnis zweier normalverteilter Variablen mit dem Mittelwert Null).

• Angenommen, für jedes $A, B \sim F$ wobei $F$ die gleiche Verteilung oder Verteilungsfamilie ist, gilt

  $$X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Wir müssen auch in der Lage sein, $A$ und $B$ umzukehren (wenn eine normale Variable als Verhältnis zweier unabhängiger Variablen mit derselben Verteilung oder Verteilungsfamilie geschrieben werden kann, kann die Reihenfolge umgekehrt werden)

  $$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Wenn jedoch $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ ist, kann $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ nicht wahr sein (die Inverse einer normalverteilten Variablen ist keine andere normalverteilte Variable).

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Umfassende Schlussfolgerung: Wenn die Variablen in einer Verteilungsfamilie $\mathcal{F}_X$ als Verhältnis von Variablen in einer anderen Verteilungsfamilie $\mathcal{F}_Y$ können, muss die Familie $\mathcal{F}_X$ unter Berücksichtigung des Kehrwerts geschlossen werden (dh für jede Variable, deren Verteilung in ist) $\mathcal{F}_X$ die Verteilung des Kehrwerts wird auch in $\mathcal{F}_X$ ) angegeben.

ZB ist das Inverse einer verteilten Cauchy-Variablen auch Cauchy-verteilt. Das Inverse einer F-verteilten Variablen ist ebenfalls F-verteilt.

• Dieses "Wenn" ist kein "Wenn", das Gegenteil ist nicht wahr. Wenn sich $X$ und $1/X$ in derselben Verteilungsfamilie befinden, kann es sein, dass es nicht immer möglich ist, eine Verhältnisverteilung mit einem Nenner und einem Nenner derselben Verteilungsfamilie zu schreiben.

  Gegenbeispiel: Wir können uns Verteilungsfamilien vorstellen, für die wir für jedes $X$ in der Familie $1/X$ in derselben Familie haben, aber kein $P(X=1)=0$ . Dies widerspricht der Tatsache, dass für eine Verhältnisverteilung, bei der Nenner und Nenner die gleiche Verteilung haben,$P(X=1) \neq 0$ (und etwas Ähnliches kann für kontinuierliche Verteilungen wie das Integral entlang der Linie X / Y ausgedrückt werden = 1 in einem Streudiagramm von X hat Y eine Dichte ungleich Null, wenn X und Y die gleiche Verteilung haben und unabhängig sind).

Nun, hier ist einer, aber ich werde ihn nicht beweisen, sondern nur in der Simulation zeigen.

Machen Sie zwei Beta-Verteilungen mit gleich großen Formparametern (hier n = 40 , 000 ), subtrahieren Sie 1/2 von $\text{Beta}(200,200)$$n=40,000$$x$ Werten von einem von ihnen und nennen Sie es "Zähler". Das gibt uns ein PDF mit einer maximalen Reichweite von , aber weil die Formparameter so groß sind, erreichen wir nie die Maximalwerte des Bereichs. Hier ist ein Histogramm eines$\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ „Zähler“ $n=40,000$

Als nächstes nennen wir die zweite Beta-Verteilung "Nenner", ohne etwas zu subtrahieren, sodass sie den üblichen Beta-Verteilungsbereich von und einer davon so aussieht$(0,1)$

Da die Formen so groß sind, nähern wir uns auch hier nicht dem Maximalbereich mit den Werten. Als nächstes werden wir den Quotienten plotten als PDF mit der überlagerten Normalverteilung.$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

In diesem Fall hat das Normalverteilungsergebnis und prüft auf Normalität, die so aussieht$\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$$

Mit anderen Worten, wir können nicht beweisen, dass das Verhältnis nicht normal ist, auch wenn wir uns sehr bemühen, dies zu tun.

Jetzt, warum? Intuition meinerseits, die ich im Überfluss habe. Dem Leser überlassener Beweis, falls vorhanden (möglicherweise über die Begrenzung der Methode der Momente, aber auch dies ist nur Intuition).

$\text{Beta}(20,20)$$\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$$t$$\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

$$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$$

Another hint $\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ Student's $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$$

I imagine there are many possibilities. Here there is one that I can think of. It is known (Zolotarev) that, given $X_1^G,X_2^G$ two standard normal distributed r.v., and $X^C_{\gamma}$ a Cauchy distributed r.v.

$$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$$

Then, by Duality of the Stable distribution, we know that $X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ (where $\gamma$ is the scale parameter of the Cauchy). So you get that the Normal distribution can be a result from a ratio between a Normal and a Cauchy:

$$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$$

for the desired $\mu$ I would just move both distributions to be centred there. (at $\mu$). For the $\sigma$, in the mentioned wikipedia page about ratio distributions, there are the general formulas for the ratio of two normal distributions, you would just need to replace the scale factor of the Cauchy by its inverse value ($\gamma\rightarrow1/\gamma$).