Zeigen Sie, dass wenn , dann

Derzeit weiß ich, dass ich wahrscheinlich die mittlere Abweichung der Binomialverteilung verwenden sollte, aber ich kann es nicht herausfinden.

self-study binomial mean expected-value proof Thyde
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Hallo, willkommen im Lebenslauf. Fragen wie diese sind zwar willkommen, werden jedoch anders behandelt. Wenn Sie mehr Informationen in Ihre Frage einfügen, erhalten Sie Hinweise und Anleitungen. Bitte beachten Sie den entsprechenden Absatz auf seiner Seite der Hilfe und die Richtlinien im self-study Tag-Wiki . Bitte fügen Sie das self-studyTag hinzu und ändern Sie Ihre Frage wie vorgeschlagen (dh zeigen Sie, was Sie versucht haben, oder erklären Sie zumindest, was Sie über Erwartungen und Binome wissen) und identifizieren Sie, wo Ihre Schwierigkeiten liegen.

Glen_b -Reinstate Monica

Sie könnten auch Jensens Ungleichung betrachten

Seanv507

@ seanv507 Wenn wir Jensens Ungleichung verwenden, geschieht dies sicherlich in einem Schritt, und wenn Thyde sie behandelt hat, ist das alles, was benötigt wird, aber in diesem Fall gibt es einen wirklich elementaren Beweis, der für Studenten, die nur einige kennen, gut erreichbar ist sehr grundlegende Eigenschaften von Erwartung und Varianz.

Glen_b -State Monica

E [Y^{2}] = V a r [Y] + E [Y]^{2}

$E[Y^2] = Var[Y] + E[Y]^2$ was zu , und dann erhalten wir: . Ist das richtig?

V a r [X] + (E [X] - n p)^{2}

$Var[X] + (E[X] - np)^2$

n p q + (n p - n p)^{2} = n p q

$npq + (np - np)^2 = npq$

Thyd

Ich denke, Sie verwechseln sich mit Var. Verwenden Sie einfach E. Sie müssen zeigen, dass .

E | X - n p | \leq \sqrt{E [| X - n p |^{2}]}

$E|X-np|\le \sqrt{E[|X-np|^2]}$

Seanv507

Antworten:

Damit der Kommentarthread nicht explodiert, sammle ich meine Hinweise auf einen vollständig elementaren Beweis (Sie können es kürzer machen, aber hoffentlich macht dies jeden Schritt intuitiv). Ich habe die meisten meiner Kommentare gelöscht (was die Kommentare leider etwas unzusammenhängend erscheinen lässt).

Sei . Anmerkung . Show . Wenn Sie bereits kennen , können Sie einfach , da das Verschieben um eine Konstante nichts zur Varianz beiträgt. $Y=X-np$ $E(Y)=0$ $\text{Var}(Y)=npq$ $\text{Var}(X)$ $\text{Var}(Y)$
Sei. Schreiben Sie eine offensichtliche Ungleichung in , erweitern Sie und verwenden Sie das vorherige Ergebnis. [Vielleicht möchten Sie dies leicht in einen klaren Beweis umwandeln, aber ich versuche zu motivieren, wie Sie zu einem Beweis gelangen, nicht nur zum endgültigen Beweis.] $Z=|Y|$ $\text{Var}(Z)$ $\text{Var}(Z)$

Das ist alles dazu. Es sind 3 oder 4 einfache Zeilen, die nichts Komplizierteres als die grundlegenden Eigenschaften von Varianz und Erwartung verwenden (der einzige Weg, wie das Binomial überhaupt dazu kommt, besteht darin, die spezifische Form von und - Sie könnten den allgemeinen Fall beweisen, dass die mittlere Abweichung immer genauso leicht ). $E(X)$ $\text{Var}(X)$ $\leq \sigma$

[Wenn Sie mit Jensens Ungleichung vertraut sind, können Sie dies auch etwas kürzer tun.]

- -

Nachdem einige Zeit vergangen ist, werde ich etwas detaillierter beschreiben, wie man es angeht:

Sei. Dann ist und ... $Z=|X-nq|$ $\text{Var}(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2$ $E(Z^2)=E[(X-nq)^2]$

Beachten Sie, dass Abweichungen positiv sein müssen. Das Ergebnis folgt.

Glen_b - Monica neu starten
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