Test auf Kointegration zwischen zwei Zeitreihen mit der Engle-Granger-Zweistufenmethode

Ich versuche, die Integration zwischen zwei Zeitreihen zu testen. Beide Serien haben wöchentliche Daten, die sich über ~ 3 Jahre erstrecken.

Ich versuche die Engle-Granger Two Step Methode durchzuführen. Meine Arbeitsreihenfolge folgt.

1. Testen Sie jede Zeitreihe mit Augmented Dickey-Fuller auf Unit Root.
2. Angenommen, beide haben Einheitswurzeln, dann finde die lineare Annäherung der Beziehung über OLS. Dann erstellen Sie eine Reihe von Residuen.
3. Testen Sie die Residuen auf Einheitswurzel mit Augmented Dickey-Fuller.
4. Beende die Integration (oder nicht) mit dem Ergebnis von 3.

Fragen:

1. Sieht diese Methode in Ordnung aus? (Ich bin Student und versuche, meine Daten auf legitime Weise zu analysieren, nicht unbedingt mit der strengsten bekannten Methode.)
2. Wenn eine Serie die Nullhypothese mit dem ADF in Schritt 1 nicht ablehnen kann (und daher keine Einheitswurzel hat), kann daraus geschlossen werden, dass die beiden Serien nicht zusammengeführt werden, weil ein Datensatz nicht stationär ist? Das würde ich nicht denken, aber ich möchte sicher sein.
3. Beide Datensätze sehen "stochastisch" aus, daher frage ich mich, ob es angemessen ist, OLS zu verwenden, um die Beziehung zu messen, um die Residuen zu erhalten.

Betrachten Sie zunächst zwei Zeitreihen, und die beide , dh beide Reihen enthalten eine Einheitswurzel. Wenn diese beiden Reihen zusammenfallen, existieren Koeffizienten, und so dass: x 2 t I ( 1 ) & mgr; & bgr; $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

wird ein Gleichgewicht definieren. Um die Kointegration mit dem Engle-Granger-2-Schritt-Ansatz zu testen, würden wir

$\\$ 1) Test der Serie, und für Einheitswurzeln. Wenn beide fahren Sie mit Schritt 2) fort. x 2 t I ( 1 $x{}_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$

$\\$ 2) Führen Sie die oben definierte Regressionsgleichung aus und speichern Sie die Residuen. Ich definiere einen neuen Begriff für die Fehlerkorrektur: .$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3) Teste die Residuen ( ) auf eine Einheitswurzel. Beachten Sie, dass dieser Test derselbe ist wie ein Test auf Nichtintegration, da die Residuen unter der Nullhypothese nicht stationär sind. Wenn jedoch eine Kointegration vorliegt, sollten die Reste stationär sein. Denken Sie daran, dass die Verteilung für den auf Residuen basierenden ADF-Test nicht mit den üblichen DF-Verteilungen übereinstimmt und von der Anzahl der geschätzten Parameter in der obigen statischen Regression abhängt, da durch Hinzufügen von Variablen in der statischen Regression die DF-Verteilungen zu verschoben werden links. Die 5% kritischen Werte für einen geschätzten Parameter in der statischen Regression mit einer Konstante und einem Trend sind -3,34 bzw. -3,78. $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4) Wenn Sie die Null einer Einheitswurzel in den Residuen ablehnen (Null der Nichtintegration), können Sie nicht ablehnen, dass die beiden Variablen zusammenfallen. $\\$

5) Wenn Sie ein Fehlerkorrekturmodell einrichten und die langfristige Beziehung zwischen den beiden Serien untersuchen möchten, empfehle ich Ihnen, stattdessen ein ADL- oder ECM-Modell einzurichten, da an das Engle- Granger statische Regression und wir können nichts über die Signifikanz der geschätzten Parameter in der statischen Regression sagen, da die Verteilung von unbekannten Parametern abhängt. Um Ihre Fragen zu beantworten: 1) Wie oben gesehen, ist Ihre Methode korrekt. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass die kritischen Werte der Residualtests nicht mit den üblichen kritischen Werten der ADF-Tests übereinstimmen. $\\$

$\\$

(2) Wenn eine der Reihen stationär ist, dh und die andere , können sie nicht kointegriert werden, da die Kointegration impliziert, dass sie gemeinsame stochastische Trends haben und eine lineare Die Beziehung zwischen ihnen ist stationär, da sich die stochastischen Trends aufheben und dadurch eine stationäre Beziehung erzeugen. Um dies zu sehen , die beiden Gleichungen berücksichtigen: I ( 1 $I\left(0\right)$$I\left(1\right)$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

Beachten Sie, dass , , , ,x 1 t ≤ I ( 1 ) x 2 t ≤ I ( 1 ) u t = β ' x t ≤ I ( 0 ) ≤ 1 t ≤ i . ich . d $\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

Zuerst lösen wir die Gleichung und erhalten $\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

Stecke diese Lösung in die Gleichung , um zu erhalten: $\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

Wir sehen bei den beiden Serien einen gemeinsamen stochastischen Trend. Wir können dann einen Kointegrationsvektor so dass: $\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

Wir sehen, dass durch die Definition eines korrekten Kointegrationsvektors sich die beiden stochastischen Trends aufheben und die Beziehung zwischen ihnen stationär ist ( ). Wenn war dann die stochastischen Trend in würde nicht durch die Definition einer Kointegrationsbeziehung gelöscht werden. Also ja, Sie müssen beide Serien ! $u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$x_{1t}$$I\left(0\right)$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\\$

$\\$

(3) Die letzte Frage. Ja, OLS kann für die beiden stochastischen Reihen verwendet werden, da gezeigt werden kann, dass der OLS-Schätzer für die statische Regression (Gleichung ) sehr konsistent ist (Varianz konvergiert zu Null bei ) wenn beide Reihen und wenn sie zusammenfallen. Wenn Sie also eine Kointegration finden und Ihre Reihen Ihre Schätzungen sehr konsistent sein. Wenn Sie keine Kointegration finden, ist die statische Regression nicht konsistent. Weitere Informationen finden Sie in der wegweisenden Veröffentlichung von Engle und Granger, 1987, Co-Integration, Fehlerkorrektur: Repräsentation, Schätzung und Testen.$\left(1\right)$$T^{-2}$$I\left(1\right)$$I\left(1\right)$