Wie ist die Verteilung des Maximums eines Paares von iid-Zügen, wobei das Minimum eine Ordnungsstatistik anderer Minima ist?

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Betrachten Sie nm unabhängige Draws aus cdf F(x) , das über 0-1 definiert ist, wobei n und m ganze Zahlen sind. Gruppieren Sie die Draws willkürlich in n Gruppen mit m Werten in jeder Gruppe. Sehen Sie sich den Mindestwert in jeder Gruppe an. Nehmen Sie die Gruppe, die das größte dieser Minima hat. Welche Verteilung definiert nun den Maximalwert in dieser Gruppe? Allgemeiner ausgedrückt, wie ist die Verteilung für die Statistik j ter Ordnung von m Zügen von F(x), wo die k-te Ordnung dieser m Ziehungen auch die p-te Ordnung der n Ziehungen dieser Statistik k-ter Ordnung ist?

All das ist höchstens abstrakt, daher hier ein konkreteres Beispiel. Betrachten Sie 8 Ziehungen von F(x) . Gruppieren Sie sie in 4 2er-Paare. Vergleichen Sie den Mindestwert in jedem Paar. Wählen Sie das Paar mit dem höchsten dieser 4 Minima. Beschriftung mit "a". Beschriften Sie den anderen Wert in demselben Paar mit "b". Was ist die Verteilung Fb(b) ? Wir wissen, b>a . Wir wissen, dass a das Maximum von 4 Minima von F(x) , von Fa(a)=(1(1F(x))2)4 . Was istFb(b) ?

OctaviaQ
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Darf ich fragen, woher Sie dieses Problem haben?
Theta30
JandR Sie haben einen Ihrer Kommentare gelöscht, in dem Sie eine Ad-hoc-Methode mit Gewichten angegeben haben.
Theta30
Ja, ich dachte, es wäre jetzt irrelevant, da Sie eine viel bessere Lösung bereitgestellt haben. Ich werde sehen, ob ich finde, was ich geschrieben habe.
OctaviaQ
Ja, aber es könnte einige interessante Ideen geben
Theta30
Meine Brute-Force-Methode: Ich nahm an, dass eine Mischung aus vorhersagbaren Gewichten der Ordnungsstatistik von n * m aus F (x) ist. Zum Beispiel beginnen wir für n = 4 und m = 2 mit 8 unabhängigen Ziehungen aus F (x) und X f i n a l > der Statistik 4. Ordnung. Um herauszufinden, ob es sich bei den einzelnen Ordnungsstatistiken 5-8 um PR handelt, habe ich ein Computerskript geschrieben, das jede Permutation von 1-8 ausgeschrieben hat, und einen Algorithmus, der X f i n a l gefunden hatXfinaln=4m=2XfinalXfinalfür jede Permutation (unter Verwendung der Ordnungsstatistiken selbst als Vergleiche) (Fortsetzung ...)
OctaviaQ

Antworten:

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Xi,jf(xi,j)F(xi,j)
j x f i n a l P ( X f i n a l < x ) P ( X max , j 0 < x  und  X min , j 0 = max j X min , j  und  1 j 0n ) = n P.Xmax,j,Xmin,jjXfinalDie Variable, die sich am Ende aller Prozesse ergibt. Wir wollen berechnen, das Nun sei und . P(Xfinal<x)

P(Xmax,j0<x and Xmin,j0=maxjXmin,j and 1j0n)
= n m P ( X 1 , 1 < x  und  X 1 , 1 = max i ( X i , 1 )  und  X min , 1 = max j x min , j
=nP(Xmax,1<x and Xmin,1=maxjXmin,j)
= N m P ( X 1 , 1 < x , X 1 , 1 > X 2 , 1 > max j = 2 ... n X m i n , j , ... , X 1 , 1 > X m , 1 > max j = 2 n X m i n , j )
=nmP(X1,1<x and X1,1=maxi(Xi,1) and Xmin,1=maxjXmin,j)
=nmP(X1,1<x,X1,1>X2,1>maxj=2nXmin,j,,X1,1>Xm,1>maxj=2nXmin,j)
W = X 1 , 1Y=maxj=2nXmin,jW=X1,1

Eine Erinnerung: Wenn mit pdf (cdf) ( ) iid sind , dann hat pdf und hat pdf . Damit erhalten wir das PDF von ist h H X min h min = n h ( 1 - H ) n - 1 X max h m a x = n h H n - 1 Y g ( y ) = ( n - 1 ) m f ( 1 - F ) m - 1 [ y 0X1,XnhHXminhmin=nh(1H)n1Xmaxhmax=nhHn1
Y

g(y)=(n1)mf(1F)m1[0ymf(z)(1F(z))m1dz]n2,n2

Beachten Sie, dass eine Statistik ist, die von Gruppe 1 unabhängig ist, sodass ihre Verbindungsdichte mit jeder Variablen in Gruppe 1 das Produkt der Dichte ist. Nun wird die obige Wahrscheinlichkeit zu Indem wir die Ableitung dieses Integrals wrt und die Binomialformel verwenden, erhalten wir das PDF von . n m x 0 f ( w ) [ w 0w y f ( x 2 , 1 ) d x 2 , 1w y f ( x m , 1 ) d x m , 1 g ( y ) d y ] d w = n m x 0 fY

nm0xf(w)[0wywf(x2,1)dx2,1ywf(xm,1)dxm,1g(y)dy]dw
=nm0xf(w)[0w(F(w)F(y))m1g(y)dy]dw
xXfinal

Beispiel: ist einheitlich, , . Dann istXn=4m=3

g(y)=9(1y)2(3y+y33y2)2,

P(Xfinal<x)=(1/55)x12(12/55)x11
+(6/5)x10(27/7)x9+(54/7)x8(324/35)x7+(27/5)x6.

Der Mittelwert von beträgt und sein sd beträgt .Xfinal374/455=0.8220.145

Theta30
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Danke für deine Hilfe! Wenn ich den Prozess jedoch genau für einfache Beispiele befolge (wie F (x) = x, n = 4, m = 2), wird das resultierende PDF nicht in 1 integriert oder sieht auf andere Weise vernünftig aus. Ich bin mir also nicht sicher, was los ist. Ich bin mir auch nicht sicher über dein g (y). Ich dachte, es würde m brauchen: hmin (y) = m * f (y) (1-F (y)) ^ (m-1)  g (y) = (n-1) * hmin (y) * [ Integral über 0 bis x von hmin (y)] ^ (n-2) oder einfacher G (y) = (1- (1-F (y)) ^ m) ^ (n-1), g ( y) = G '(y). Aber selbst wenn ich g (y) durch dieses ersetze, macht das endgültige PDF immer noch keinen Sinn. Interpretiere ich etwas falsch?
OctaviaQ
@ JandR Ich habe es heute noch einmal überprüft. siehe die Korrekturen
Theta30
Zu Ihrer Information, ich habe diese Frage ursprünglich in mathoverflow.net gepostet. Ich habe hier einen Link zu Ihrer Antwort gepostet, aber wenn Sie daran interessiert sind, Ihre Antwort erneut zu veröffentlichen oder zu verlinken, ist die Frage hier: Link
OctaviaQ
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Da die Zeichnungen aus einem iid-Beispiel stammen, können wir nur die ausgewählte Zeichnung betrachten. Betrachten Sie . Jetzt wissen wir, dass von und dass . Damit,f(x)=dF(x)dxbf(x)b>a

p(b|a)=f(b)a1f(y)dyb>a,0 otherwise.

Das Minimum in einem Draw von zwei ist m

p2(m)=f(m)m1f(y)dy.

Das größte Minimum unter 4 Ziehungen wäre

p(a)=p2(a)[0ap2(z)dz]3=f(a)a1f(x)dx[0af(y)(y1f(z)dz)dy]3.

So endlich,

p(b)=01[u(a)f(b)a1f(y)dyf(a)a1f(x)dx[0af(y)(y1f(z)dz)dy]3]da.
grosse Bandbreite
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Danke für die Ausarbeitung. Ich versuche das zu bekommen! Zwei Fragen: Was ist u (a) in der letzten Gleichung? und sind Sie sicher, dass Ihre Gleichung für p2 (m) korrekt ist? Es unterscheidet sich (und liefert eine andere Antwort) von allen anderen Mindestgleichungen, die ich gesehen habe. Übrigens - ich schätze Ihre Hilfe sehr!
OctaviaQ
Dieser Antwort scheinen einige Binomialkoeffizienten zu fehlen .
whuber