Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Die Lebensdauer von 3 elektronischen Bauteilen und . Die Zufallsvariablen wurden als Zufallsstichprobe der Größe 3 aus der Exponentialverteilung mit dem Parameter modelliert . Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist für $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ $X_{3} = 2.1$ $\theta$ $\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ , wobei . $x = (2, 1.5, 2.1)$

Und dann fährt das Problem fort, die MLE zu bestimmen, indem der Wert von , der maximiert . Meine Frage ist, wie bestimme ich die Wahrscheinlichkeitsfunktion? Ich habe das PDF der Exponentialverteilung nachgeschlagen, aber es ist anders. Wird mir die Wahrscheinlichkeitsfunktion bei einem Problem immer gegeben? Oder muss ich es selbst bestimmen? Wenn das so ist, wie? $\theta$ $log f_{3}(x|\theta)$

distributions maximum-likelihood exponential Adrian
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Warum möchten Sie eine Wahrscheinlichkeitsschätzung mit nur 3 Beobachtungen durchführen? Die Schätzung, die Sie für

θ

$\theta$ , ist voreingenommen und weist eine große Varianz auf. Ist es HW?

Zachary Blumenfeld

Wissen Sie, wie die Wahrscheinlichkeit definiert ist?

Glen_b -State Monica

Antworten:

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Stichprobe ist die gemeinsame Dichte der beteiligten Zufallsvariablen, wird jedoch als Funktion der unbekannten Parameter bei einer bestimmten Stichprobe von Realisierungen aus diesen Zufallsvariablen angesehen.

In Ihrem Fall scheint die Annahme hier zu sein, dass die Lebensdauer dieser elektronischen Komponenten jeweils folgt (dh sie hat eine Randverteilung), eine Exponentialverteilung mit identischem Ratenparameter , und daher lautet das Rand-PDF: $\theta$

f_{{X.}_{ich}} (x_{ich} ∣ θ) = θ e^{- - θ x_{ich}}, ich = 1, 2, 3

$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$

Es scheint auch, dass die Lebensdauer jeder Komponente völlig unabhängig von der Lebensdauer der anderen ist. In einem solchen Fall ist die Gelenkdichtefunktion das Produkt der drei Dichten,

f_{X. 1, X. 2, X. 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3} ∣ θ) = θ e^{- - θ x_{1}} \cdot θ e^{- - θ x_{2}} \cdot θ e^{- - θ x_{3}} = θ^{3} \cdot \exp {- - θ \sum_{ich = 1}^{3} x_{ich}}}

$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

Um dies in die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Stichprobe umzuwandeln, betrachten wir sie als eine Funktion von bei einer bestimmten Stichprobe von . $\theta$ $x_i$

L. (θ ∣ {x_{1}, x_{2}, x_{3}}}) = θ^{3} \cdot \exp {- - θ \sum_{ich = 1}^{3} x_{ich}}}

$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

$\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$ $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$

L. (θ ∣ {x_{1} = 3, x_{2} = 1.5, x_{3} = 2.1}}) = θ^{3} \cdot \exp {- - 6.6 θ}}

$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$

$x_i$ $\theta$ $x$ $\theta$

$n=3$ $6.6$ $\theta$ $\sum x$

Alecos Papadopoulos
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