Schuette-Nesbitt-Formel

Ich habe den Artikel über die Schuette-Nesbitt-Formel gelesen , die als "Verallgemeinerung des Einschluss-Ausschluss-Prinzips" beschrieben wird und sowohl eine kombinatorische als auch eine probabilistische Version hat. Eine andere Website gab einen Beweis für abhängige Ereignisse (pdf-Download) und fand einen dritten, der ihn mit Warings Theorem (pdf) vergleicht.

Ich bin jedoch immer noch verwirrt. Ich habe versucht, ein klar ausgearbeitetes Beispiel mit diskreten Wahrscheinlichkeiten (der Einfachheit halber) zu finden, dass die Schritte von einer Zeile zur nächsten klar sind - um das allgemeine Verständnis der Formel zu erleichtern.

Gibt es eine gute Referenz oder eine Antwort, die ein kurzes Beispiel geben kann?

Ich habe im folgenden Buch ein Beispiel gefunden und meine Antwort ist eine modifizierte Version von Abschnitt 8.4.8.6 des Buches, um es kurz und klar zu machen.

Gerber, Hans U. "Lebensversicherung." Lebensversicherungsmathematik. Springer Berlin Heidelberg, 1990.

sind beliebige Ereignisse. N ist eine Zufallsvariable im Bereich von { 0 , 1 , . . . , m } . Für beliebige reelle Koeffizienten c 1 , ⋯ c m ist die Schuette-Nesbitt-Formel die folgende Operatoridentität zwischen dem Verschiebungsoperator E : c n ↦ c n + 1 und dem Differenzoperator Δ : c n ↦ c n $B_1,\cdots B_n$$N$$\{0, 1, ... , m\}$$c_1,\cdots c_m$$E:c_n\mapsto c_{n+1}$ . Per Definition sind sie überE=id+Δ verwandt, die SN-Formel lautet m ∑ n = 0 c n ⋅Pr(N=n)= m ∑ k = 0 [ Δ k c 0 ] S k wobei S k = ∑ j 1 , ⋯ j k Pr( B $\Delta:c_n\mapsto c_{n+1}-c_{n}$$E=id+\Delta$

$$\sum_{n=0}^{m}c_n\cdot Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$$ ist die symmetrische Summe zwischen diesennEreignissen und S 0 =1. Es ist zu beachten, dass[ & Dgr; k c 0 ]einen Differenzoperator bedeutet, der auf c 0 wirkt. Zum Beispiel ist[ & Dgr; 2 c 0 ]= & Dgr; 1 ( c 1 - c 0 )= & Dgr; 1 ( c 1 )- & Dgr; 1$S_k=\sum_{j_1,\cdots j_k}Pr(B_{j1}\cap\cdots \cap B_{jk})$$n$$S_0=1$$[\Delta^{k}c_0]$$c_0$ . Beide Operatoren sind linear und haben daher Darstellungen in Bezug auf die Matrix, daher können sie auf Polynomringe und Module erweitert werden (da diese beiden Objekte lose gesagt "Basis" haben). E = ( 0 0 0 ⋯ 1 0 0 ⋯ 0) 1 0 ⋯ $[\Delta^{2}c_0]=\Delta^{1}(c_1-c_0)=\Delta^{1}(c_1)-\Delta^{1}(c_0)=(c_2-c_1)-(c_1-c_0)=c_2-2c_1+c_0$Δ=( - 1 0 0 ⋯ 1 - 1 0 ⋯ 0 1 - 1 ⋯ 0 0 1 ⋯ $$E=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$$ $$\Delta=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & -1 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & -1 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$$

$\prod_{j=1}^{m}(1+I_{B_j}\Delta)$$I_A\cdot I_B=I_{A\cap B}$$\Delta$

$c_0=1$$c_1=c_2=\cdots=c_n=1$

$$\sum_{n=1}^{m} Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}\Delta^{k}c_0S_k=c_0 S_0+(c_1-c_0)S_1+(c_2-2c_1+c_0)S_2+\cdots =S_1-S_2+S_3+\cdots+(-1)^{n}S_n=[Pr(B_1)+\cdots+Pr(B_n)]-[Pr(B_1\cap B_2)+\cdots+Pr(B_{n-1}\cap B_{n})]+\cdots+(-1)^n\cdot Pr(S_1\cap\cdots \cap S_n)$$

$r$$n$$B_1,\cdots B_n$$c_r=1$$c$

$$Pr(N=r)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k=\sum_{k=r}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$$ $[\Delta^{k}c_0]=0$$k<r$$t=k-r$

In Gerbers Buch gibt es ein Beispiel für die Zuweisung von Umschlägen, das Sie sich ansehen können. Mein Vorschlag ist jedoch, es in Bezug auf die Operatoralgebra anstelle der Wahrscheinlichkeit zu verstehen.