Lineare Transformation einer Zufallsvariablen durch eine hohe rechteckige Matrix

Nehmen wir an, wir haben einen Zufallsvektor , der aus einer Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f → X ( → x ) gezogen wird . Wenn wir es linear durch eine n × n- Matrix A mit vollem Rang transformieren , um → Y = A → X zu erhalten , ist die Dichte von → Y gegeben durch f → Y ( → y ) = $\vec{X} \in \mathbb{R}^n$$f_\vec{X}(\vec{x})$$n \times n$$A$$\vec{Y} = A\vec{X}$$\vec{Y}$

$$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$$

Nehmen wir nun an, wir transformieren stattdessen durch eine m × n- Matrix B mit m > n , was → Z = B → X ergibt . Klar Z ∈ R m , aber es "lebt" auf einem n- dimensionalen Unterraum G ⊂ R m . Was ist die bedingte Dichte von → Z , wenn wir wissen, dass es in G liegt ?$\vec{X}$$m \times n$$B$$m > n$$\vec{Z} = B\vec{X}$$Z \in \mathbb{R}^m$$n$$G \subset \mathbb{R}^m$$\vec{Z}$$G$

Mein erster Instinkt war, die Pseudo-Inverse von . Wenn B = U S V T die Singularwertzerlegung von B ist , dann ist B + = V S + U T die Pseudo-Inverse, wobei S + durch Invertieren der Nicht-Null-Einträge der Diagonalmatrix S gebildet wird . Ich vermutete, dass dies f → Z ( → z ) = $B$$B = U S V^T$$B$$B^+ = V S^+ U^T$$S^+$$S$ wobei durchdet

$$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$$ das Produkt der Singularwerte ungleich Null gemeint ist.$\det^+ S$

Diese Argumentation stimmt mit der hier angegebenen und erwähnten Dichte für eine singuläre Normale überein (abhängig von dem Wissen, dass die Variable auf dem entsprechenden Unterraum lebt) auch hier und in diesem CrossValidated-Beitrag erwähnt wird .

Aber es ist nicht richtig! Die Normalisierungskonstante ist ausgeschaltet. Ein (triviales) Gegenbeispiel ergibt sich aus folgendem Fall: Mit sei → Y = ( 1 1 ) X = ( $X \sim \mathcal{N(0, 1)}$ Hier ist die MatrixBvon oben nur der Ein-Vektor. Seine pseudoinversen istB+=( 1 / 2 1 / 2 ) unddet+B

$$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$$ $B$ $$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$$ . Die Argumentation von oben würdef → Y ( → y )= 1 vorschlagen$\det^+ B = \sqrt{2}$ aber dies integriert tatsächlich (auf der Liniey=x) zu $$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$$ $y = x$ . Mir ist klar, dass Sie in diesem Fall einfach einen der Einträge von→Ylöschen können, aber wennBviel größer ist, ist es ärgerlich, die zu löschenden Einträge zu identifizieren. Warum funktioniert das pseudo-inverse Denken nicht? Gibt es eine allgemeine Formel für die Dichtefunktion einer linearen Transformation einer Menge von Zufallsvariablen durch eine "große" Matrix? Alle Referenzen wäre auch sehr dankbar.$\frac{1}{\sqrt{2}}$$\vec{Y}$$B$

$y = x$$x$$\sqrt{2}$$x \mapsto (x, x)$$\vec{y}$$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$ (kommt aus genau dem gleichen Jacobian) im Nenner.

$B$$G$$B$$m \times n$$L$$B$

$$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$$

$B$$\vec{z}$$\hat B$$n \times n$$B$