Verteilung des Maximums von zwei korrelierten Normalvariablen

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Nach Nadarajah und Kotz, 2008 , exakte Verteilung der Max / Min von zwei Gaußschen Zufallsvariablen , scheint das PDF von zu seinX=max(X1,X2)

f(x)=2ϕ(x)Φ(1-r1-r2x),

Dabei ist die PDF-Datei und die CDF- Datei der Standardnormalverteilung.ϕϕΦ

Bildbeschreibung hier eingeben

Lucas
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Wie sieht das aus, wenn (überhaupt keine Korrelation)? Ich habe Probleme, es mir vorzustellen. r=0
Mitch
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Ich habe eine Abbildung hinzugefügt, die die Verteilung visualisiert. Es sieht aus wie ein zusammengedrückter Gaußscher, der leicht nach rechts geneigt ist.
Lucas
22

Sei die bivariate Normale PDF für ( X , Y ) mit Standardrand und Korrelation ρ . Der CDF des Maximums ist per Definitionfρ(X,Y)ρ

Pr(max(X,Y)z)=Pr(Xz, Yz)=zzfρ(x,y)dydx.

Das bivariate Normal PDF ist symmetrisch (über Reflexion) um die Diagonale. Somit Erhöhen zu z + d z fügt zwei Streifen gleicher Wahrscheinlichkeit auf das ursprüngliche semiinfiniten Quadrat: infinitesimal dicken obere ist ( - , z ] × ( z , z + d Z ] , während das reflektierte Gegenstück, das rechter Streifen ist ( z , z + d z ] × ( - , z ] .zz+dz(,z]×(z,z+dz](z,z+dz]×(,z]

Zahl

Die Wahrscheinlichkeitsdichte des rechten Streifens ist die Dichte von zum z- fachen der gesamten bedingten Wahrscheinlichkeit, dass Y im Streifen ist, Pr ( Y zXzYPr(Yz|X=z)YYXρXvar(Y)var(ρX)=1ρ2

Y.XY.Φ

Pr(Y.y|X)=Φ(y-ρX1-ρ2).

y=zX=zXzϕ

ϕ(z)Φ(z-ρz1-ρ2)=ϕ(z)Φ(1-ρ1-ρ2z).

Das Verdoppeln dieses Wertes erklärt den höchstwahrscheinlichen oberen Streifen und ergibt das PDF des Maximums als

ddzPr(max(X,Y.)z)=2ϕ(z)Φ(1-ρ1-ρ2z).

Reprise

2ϕ(z)Φ()1-ρ1-ρ2zY.=zX=z

whuber
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Kann dies auf mehr als zwei normale Standardvariablen mit gegebener Korrelationsmatrix erweitert werden?
A. Donda
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@ A.Donda Ja - aber der Ausdruck wird komplizierter. Mit jeder neuen Dimension kommt die Notwendigkeit, sich noch einmal zu integrieren.
Whuber