Obergrenze an

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( 0 , 1 ) φ ( x ) = 1 / x E [ 1X ist eine diskrete Zufallsvariable, die Werte von annehmen kann . Da eine konvexe Funktion ist, können wir Jensens Ungleichung verwenden, um eine Untergrenze abzuleiten : Ist es möglich, eine Obergrenze abzuleiten ?(0,1)φ(x)=1/x

E[11X]11E[X]=11a
Mike
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Überlegen Sie, was passiert, wenn X eine Obergrenze hat, die sich von unten 1 nähert. Betrachten Sie nun eine Verteilung mit 1 mit einer Dichte ungleich Null. Betrachten Sie nun eine diskrete Verteilung, bei der 1 eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null hat. Vielleicht möchten Sie mit einigen Einschränkungen beginnen
Glen_b - Monica
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Eine Verallgemeinerung dieser Frage kann auf die Zufallsvariable mit der Erwartung 1 - a angewendet werden , um die Antwort sofort zu erhalten: siehe stats.stackexchange.com/questions/141766 . Die dort vorgesehene Ungleichung ist eng: Das heißt, die Obergrenze ist erreichbar. Es liefert eine nützliche (nicht unendliche) Obergrenze, wenn das Supremum von X kleiner als 1 ist . 1X1aX1
whuber

Antworten:

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Es gibt keine Obergrenze.

Intuitiv wenn hat erhebliche Unterstützung entlang einer Folge nähert 1 , dann 1 / ( 1 - X ) könnte eine divergente haben (beliebig groß) Prognose. Um zu zeigen, dass es keine Obergrenze gibt, müssen wir nur eine Kombination aus Unterstützung und Wahrscheinlichkeiten finden, die die gewünschte Erwartung von a erreicht . Die folgenden explizit konstruiert eine solche X .X11/(1X)aX


Angenommen, (später zu wählen) und s > 1 (auch später zu wählen). Lassen Sie X die Werte a n = 1 - λ n - s mit Wahrscheinlichkeiten p n = n - s annehmen0<λ<1s>1X

an=1λns
n=1,2,. Dann
pn=nsζ(s),
n=1,2,

a=E(X)=n=1pnan=1ζ(s)n=1ns(1λns)=1λζ(2s)ζ(s).

f(s)=ζ(2s)/ζ(s)(0,1)

Abbildung des Zeta-Verhältnisses

1 - a < λ < 1 s > 1 f ( s ) = ( 1 - a ) / λ a = 1 - λ f ( s )λ1a<λ<1s>1f(s)=(1a)/λa=1λf(s)X

Erwägen

E.(11- -X.)=n=1pnnsλ=1λζ(s)n=11.

Die Summe geht auseinander. Folglich stimmt keine Obergrenze mit den angegebenen Bedingungen überein.

whuber
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