Fast sichere Konvergenz bedeutet keine vollständige Konvergenz

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Wir sagen, konvergieren vollständig zu wenn für jedes . $X_1, X_2, \ldots$ $X$ $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Mit Borel Cantellis Lemma ist es einfach zu beweisen, dass vollständige Konvergenz eine fast sichere Konvergenz impliziert.

Ich suche ein Beispiel, bei dem die Konvergenz mit Borel Cantelli fast nicht nachgewiesen werden kann. Dies ist eine Folge von Zufallsvariablen, die fast sicher, aber nicht vollständig konvergiert.

probability convergence Manuel
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Sei mit der Borel-Sigma-Algebra und dem einheitlichen Maß . Definieren $\Omega=(0,1)$ $\mathfrak{F}$ $\mu$

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

und sonst. Die sind offensichtlich im Wahrscheinlichkeitsraum messbar . $X_n(\omega)=0$ $X_n$ $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

Zahl

Für jedes und alle ist . Somit konvergiert die Sequenz per Definition gegen (nicht nur fast sicher!). $\omega\in\Omega$ $N \gt 1/\omega$ $X_n(\omega)=0$ $(X_n)$ $0$

Immer wenn jedoch , , woher $0 \lt \epsilon \lt 1$ $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

\sum_{n = 1}^{\infty} Pr (X_{n} > ϵ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},

$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$

was zu abweicht . $\infty$

whuber
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Vielen Dank!. Zwei Kommentare, gibt es einen Grund, anstelle von ? zweitens sollte es ?

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

X_{n} (ω) = 1 when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$

\sum Pr (X_{n} > ϵ)

$\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

Manuel

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1. Kein guter Grund. Während ich darüber nachdachte, benutzte ich den Begriff daran zu erinnern, dass es an solchen Punkten möglicherweise keine Konvergenz gibt. 2. Ich reparierte die Tippfehler, danke.

\pm 1

$\pm 1$

<

$\lt$

whuber

Sind die unabhängig? Sie scheinen mir zu sein, was nach dem zweiten Lemma von Borel Cantelli bedeuten würde, dass die Konvergenz nicht annähernd sicher ist.

X_{n}

$X_n$

Rdrr

@Rdrr Dann sollten Sie keine Probleme haben zu demonstrieren, dass die nicht unabhängig sind.

X_{n}

$X_n$

whuber