Wie erzeugt man gleichmäßig zufällige orthogonale Matrizen mit positiver Determinante?

Ich habe wahrscheinlich eine dumme Frage, über die ich, muss ich gestehen, verwirrt bin. Stellen Sie sich die wiederholte Erzeugung einer gleichmäßig verteilten zufälligen orthogonalen (orthonormalen) Matrix mit einer Größe . Manchmal hat die erzeugte Matrix die Determinante und manchmal die Determinante . (Es gibt nur zwei mögliche Werte. Unter dem Gesichtspunkt der orthogonalen Drehung bedeutet , dass es neben der Drehung auch eine zusätzliche Reflexion gibt.)$p$$1$$-1$$\det=-1$

Wir können das Vorzeichen der Veränderung $\det$ einer orthogonalen Matrix von Minus nach Plus durch das Vorzeichen von jedem Wechsel eines (oder, allgemeiner, jede ungerade Anzahl von) Spalte davon.

Meine Frage ist: Wenn wir solche Zufallsmatrizen wiederholt erzeugen, werden wir dann eine gewisse Verzerrung in ihrer einheitlichen Zufälligkeit einführen, wenn wir jedes Mal das Vorzeichen nur einer bestimmten Spalte zurücksetzen (z. B. immer die erste oder immer die letzte)? Oder sollten wir haben die Spalte zufällig zu halten , um die Matrizen repräsentieren Zufalls gleichmäßig verteilt Kollektion an?

Die Wahl der Spalte spielt keine Rolle: Die resultierende Verteilung auf den speziellen orthogonalen Matrizen $SO(n)$ ist immer noch gleichmäßig.

Ich werde dies anhand eines Arguments erklären, das sich auf offensichtliche Weise auf viele verwandte Fragen zur einheitlichen Erzeugung von Elementen von Gruppen erstreckt. Jeder Schritt dieses Arguments ist trivial und erfordert lediglich die Bezugnahme auf geeignete Definitionen oder eine einfache Berechnung (z. B. die Feststellung, dass die Matrix orthogonal und selbstinvers ist).$\mathbb{I}_1$

Das Argument ist eine Verallgemeinerung einer vertrauten Situation. Betrachten Sie die Aufgabe, positive reelle Zahlen gemäß einer bestimmten kontinuierlichen Verteilung zeichnen . Dies kann erreicht werden, indem eine beliebige reelle Zahl aus einer kontinuierlichen Verteilung und gegebenenfalls das Ergebnis negiert wird, um einen positiven Wert (fast sicher) zu gewährleisten. Damit dieser Prozess die Verteilung , muss die Eigenschaft haben, dassG F $F$$G$$F$$G$

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

Der einfachste Weg, dies zu erreichen, ist, wenn um symmetrisch ist, so dass , was : alle positive Wahrscheinlichkeit Dichten werden einfach verdoppelt und alle negativen Ergebnisse werden eliminiert. Die bekannte Beziehung zwischen der Halbnormalverteilung ( ) und der Normalverteilung ( ) ist von dieser Art.0 G ( x ) - 1 / 2 = 1 / 2 - G ( - x ) F ( x ) = 2 G ( x ) - 1 F $G$$0$$G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$$F(x) = 2G(x) - 1$$F$$G$

Im Folgenden spielt die Gruppe die Rolle der reellen Zahlen ungleich Null (als multiplikative Gruppe betrachtet) und ihre Untergruppe spielt die Rolle der positiven reellen Zahlen . Das Haar-Maß ist unter Negation invariant. Wenn es also von nach "gefaltet" wird , ändert sich die Verteilung der positiven Werte nicht . (Dieses Maß kann leider nicht auf ein Wahrscheinlichkeitsmaß normiert werden - aber nur so bricht die Analogie zusammen.)S O ( n ) R + d $O(n)$$SO(n)$$\mathbb{R}_{+}$R - { 0 } R $dx/x$$\mathbb{R}-\{0\}$$\mathbb{R}_{+}$

Das Negieren einer bestimmten Spalte einer orthogonalen Matrix (wenn ihre Determinante negativ ist) ist das Analogon zum Negieren einer negativen reellen Zahl, um sie in die positive Untergruppe zu falten. Im Allgemeinen können Sie im Voraus jede orthogonale Matrix mit negativer Determinante auswählen und anstelle von : Die Ergebnisse wären dieselben.I$\mathbb{J}$$\mathbb{I}_1$

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Obwohl die Frage in Bezug auf die Erzeugung von Zufallsvariablen formuliert ist, fragt sie wirklich nach Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den Matrixgruppen und . Die Verbindung zwischen diesen Gruppen wird anhand der orthogonalen Matrix beschrieben$O(n, \mathbb{R}) = O(n)$$SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

weil das Negieren der ersten Spalte einer orthogonalen Matrix bedeutet, dass mit rechts multipliziert wird . Beachten Sie, dass und die disjunkte Vereinigung istX I$\mathbb X$$\mathbb{X}$$\mathbb{I}_1$O ( n $SO(n)\subset O(n)$$O(n)$

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

Bei einem auf definierten Wahrscheinlichkeitsraum definiert der in der Frage beschriebene Prozess eine KarteO ( n $(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$$O(n)$

$$f:O(n)\to SO(n)$$

indem man es einstellt

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

wenn und$\mathbb{X}\in SO(n)$

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

für .$\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

Die Frage betrifft das Erzeugen zufälliger Elemente in durch Erhalten zufälliger Elemente , dh durch "Vorwärtsschieben" über , um zu erzeugen . Der Pushforward erstellt einen Wahrscheinlichkeitsraum mitω ∈ O ( n ) f f ∗ ω = f ( ω ) ∈ S O ( n ) ( S O ( n $SO(n)$$\omega\in O(n)$$f$$f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

und

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

für alle .$E \subset \mathfrak{S}^\prime$

Unter der Annahme, dass die richtige Multiplikation mit ist, und unter Hinweis darauf, dass in jedem Fall , für alle sofort folgen würde , E∩$\mathbb{I}_1$$E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$$E\in\mathfrak{S}^\prime$

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

Insbesondere wenn unter Rechtsmultiplikation in invariant ist (was "einheitlich" normalerweise bedeutet), ist die offensichtliche Tatsache, dass und seine Umkehrung (was gleich selbst) sind beide orthogonale Mittel, die das Vorstehende gilt, was zeigt, dass einheitlich ist. Daher ist es nicht erforderlich, eine zufällige Spalte für die Negation auszuwählen. O ( n ) I 1 I 1 P$\mathbb{P}$$O(n)$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{P}^\prime$