Intuitive Erklärung für die Dichte der transformierten Variablen?

Angenommen, ist eine Zufallsvariable mit pdf . Dann hat die Zufallsvariable das pdf$X$$f_X(x)$$Y=X^2$

$$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \\ 0 & y \lt 0\end{cases}$$

Ich verstehe den Kalkül dahinter. Aber ich versuche mir einen Weg zu überlegen, wie ich es jemandem erklären kann, der keinen Kalkül kennt. Insbesondere versuche ich zu erklären, warum der Faktor vorne erscheint. Ich werde es versuchen:$\frac{1}{\sqrt{y}}$

Angenommen, $X$ hat eine Gaußsche Verteilung. Fast das ganze Gewicht seiner pdf zwischen den Werten, sagen wir, $-3$ und $3.$ Aber , dass die Karten auf 0 bis 9 für $Y$ . Daher wurde das Schwergewicht im PDF für $X$ bei der Umwandlung in $Y$ auf einen größeren Wertebereich ausgedehnt . Damit $f_Y(y)$ ein wahres PDF ist, muss das extra schwere Gewicht um den multiplikativen Faktor 1 herabgewichtet werden$\frac{1}{\sqrt{y}}$

Wie klingt das?

Wenn jemand eine bessere Erklärung für sich oder einen Link in einem Dokument oder Lehrbuch liefern kann, würde ich das sehr begrüßen. Ich finde dieses Variablentransformationsbeispiel in mehreren Büchern mit mathematischen Wahrscheinlichkeits- / Statistikinformationen. Aber ich finde nie eine intuitive Erklärung dafür :(

PDFs sind Höhen, aber sie werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit anhand der Fläche darzustellen. Es ist daher hilfreich, ein PDF so auszudrücken, dass wir daran erinnern, dass Fläche gleich Höhe mal Basis ist.

Anfänglich ist die Höhe bei jedem Wert $x$ durch die PDF $f_X(x)$ . Die Basis ist das infinitesimale Segment $dx$ , von dem aus die Verteilung ( dh das Wahrscheinlichkeitsmaß im Gegensatz zur Verteilungsfunktion ) in Wirklichkeit die Differentialform oder das "Wahrscheinlichkeitselement" ist.

$$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx.$$

Dies ist nicht das PDF, sondern das Objekt, mit dem Sie sowohl konzeptionell als auch praktisch arbeiten möchten, da es explizit alle Elemente enthält, die zum Ausdrücken einer Wahrscheinlichkeit erforderlich sind.

Wenn wir $x$ in Form von $y = x^2$ erneut ausdrücken , werden die Basissegmente $dx$ gedehnt (oder zusammengedrückt): Durch Quadrieren beider Enden des Intervalls von $x$ auf $x + dx$ wir, dass die Basis des $y$ Bereichs sein muss ein längenintervall sein

$$dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x \, dx + (dx)^2.$$

Da das Produkt von zwei Infinitesimalen im Vergleich zu den Infinitesimalen selbst vernachlässigbar ist, schließen wir daraus

$$dy = 2 x \, dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}.$$

Nachdem dies festgestellt wurde, ist die Berechnung trivial, da wir nur die neue Höhe und die neue Breite einfügen:

$$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y).$$

Da die Basis, ausgedrückt als $y$ , $dy$ , muss es, was auch immer multipliziert wird, die Höhe sein, die wir mittelfristig als direkt ablesen können

$$\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y).$$

Diese Gleichung $\operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y)$ ist effektiv eine Erhaltung des Flächengesetzes (= Wahrscheinlichkeitsgesetz).

Diese Grafik zeigt präzise schmale (fast infinitesimale) Teile von zwei PDFs, die durch $y=x^2$ . Wahrscheinlichkeiten werden durch die schattierten Bereiche dargestellt. Aufgrund des Quetschens des Intervalls $[0.32, 0.45]$ durch Quadrieren muss die Höhe des roten Bereichs ( $y$ , links) proportional zur Fläche des blauen Bereichs ( $x$ , rechts) vergrößert werden .

Wie wäre es, wenn ich Objekte herstelle, die immer quadratisch sind und die Verteilung der Seitenlängen der Quadrate kenne? Was kann ich über die Verteilung der Flächen der Quadrate sagen?

Was kann ich insbesondere über Y = X 2 sagen , wenn ich die Verteilung einer Zufallsvariablen kenne ? Eine Sache, die Sie sagen können, ist$X$$Y = X^{2}$

$$\eqalign{ F_{Y} (c) & = & P( Y \le c ) \\ & = & P( X^{2} \le c ) \\ & = & P ( - \sqrt{c} \le X \le \sqrt{c}) \\ & = & F_{X}( \sqrt{c} ) - F_{X}( - \sqrt{c} ). \\ }$$

$Y$$X$

$Y$$P(Y \in (y, y + \Delta y))$$Y$$(y, y + \Delta y)$$\Delta y$

$X$$Y$$X$$Y = X^2$$Y\in (y, y + \Delta y)$$X^2 \in (x^2, (x + \Delta x)^2)$$X \in (|x|, |x| + \Delta x)~ \text{or}~ X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )$$(y, y + \Delta y)$$(|x|, |x| + \Delta x)$$(- |x| -\Delta x, -|x| )$

$$\begin{align} P(Y \in (y, y + \Delta y)) &=P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )\right) \end{align}$$

Ok, jetzt kommen wir zur Dichte. Zuerst müssen wir definieren , was eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Wie der Name schon sagt, ist es der Anteil der Personen pro Gebiet . Das heißt, wir zählen den Anteil der Personen an diesem Behälter und dividieren ihn durch die Größe des Behälters . Da wir festgestellt haben, dass die Proportionen der Menschen hier gleich sind, sich jedoch die Größe der Behälter geändert hat, ziehen wir den Schluss, dass die Dichte unterschiedlich sein wird. Aber um wie viel anders?

$Y$$f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y}$$X$$f_X(x):=\frac{P(X \in (x, x + \Delta x))}{\Delta x}$

Aus unserem vorherigen Ergebnis, dass die Population in jeder Tonne die gleiche ist, haben wir dann, dass

$$\begin{align} f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y} &= \frac{P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| - \Delta x, -|x| )\right)}{\Delta y} \\ &= \frac{f_X(|x|)\Delta x + f_{X}(-|x|)\Delta x}{\Delta y}\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(|x|) + f_{X}(-|x|) \right)\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y}) \right) \end{align}$$

$f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y})$$\frac{\Delta x}{\Delta y}$$y = x^2$$y + \Delta y = (x + \Delta x )^2 = x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2$$\Delta x$$\Delta x ^2$$\Delta y = 2x \Delta x$$\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}$$\frac{1}{2 \sqrt{y}}$