Wie ist das Minimum eines Satzes von Zufallsvariablen verteilt?

$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Wenn der cdf von mit , dann ist der cdf des Minimums gegeben durch .$X_i$$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

Wenn die CDF von mit , dann ist die CDF des Minimums gegeben durch .$X_i$$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

Begründung: Bei Zufallsvariablen impliziert die Wahrscheinlichkeit , dass mindestens ein kleiner als .$n$$P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$$X_i$$y$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein kleiner als ist, ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit, dass alle größer als , dh .$X_i$$y$$X_i$$y$$P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$

Wenn die unabhängig gleichverteilt sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle größer als sind, . Daher ist die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit .$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

Beispiel : Sagen Sie , dann sollte intuitiv die Wahrscheinlichkeit gleich 1 sein (da der Minimalwert seit immer kleiner als 1 wäre für alle ). In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit ist also immer 1.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman gab die einfache exakte Antwort für ein festes n. Wenn Sie an asymptotischem Verhalten für große n interessiert sind, wird dies auf dem Gebiet der Extremwerttheorie behandelt . Es gibt eine kleine Familie möglicher einschränkender Verteilungen; siehe zum Beispiel die ersten Kapitel dieses Buches .

Ich denke, dass die Antwort 1- (1-F (x)) ^ n in besonderen Fällen richtig ist. Sonderfälle sind die Bedingung, dass PMF von RV auf einer Formel für Domäne von RV basiert. Wenn es in verschiedenen Teilen der Domäne unterschiedlich ist, weicht die oben genannte Formel ein wenig von den tatsächlichen Simulationsergebnissen ab.