Was ist eine Region mit der höchsten Dichte (HDR)?

In der statistischen Folgerung wird in Problem 9.6b ein "Highest Density Region (HDR)" erwähnt. Die Definition dieses Begriffs fand ich jedoch nicht im Buch.

Ein ähnlicher Begriff ist die höchste hintere Dichte (Highest Posterior Density, HPD). Aber es passt nicht in diesen Kontext, da in 9.6b nichts über einen Prior erwähnt wird. Und in der vorgeschlagenen Lösung heißt es nur, dass "offensichtlich ein HDR ist".$c(y)$

Oder ist der HDR eine Region, die die Modi eines PDFs enthält?

Was ist eine Region mit der höchsten Dichte (HDR)?

Ich empfehle Rob Hyndmans 1996 erschienenen Artikel "Computing and Graphing Highest Density Regions" in The American Statistician . Hier ist die Definition des HDR aus diesem Artikel:

Lassen die Dichtefunktion einer Zufallsvariable . Dann ist die HDR die Teilmenge des Abtastraums von so dass wobei die größte Konstante ist, so dass X 100 ( 1 - & agr; ) % R ( f & agr; ) X R ( f & agr; ) = { x : f ( x ) ≥ f & agr; } , f & agr ; P ( X ≤ R ( f & agr; ) ) ≥ 1 - α $f(x)$$X$$100(1-\alpha)\%$$R(f_\alpha)$$X$

$$R(f_\alpha) = \{x\colon f(x)\geq f_\alpha\},$$ $f_\alpha$ $$P\big(X\in R(f_\alpha)\big)\geq 1-\alpha.$$

Abbildung 1 aus diesem Artikel zeigt den Unterschied zwischen dem 75% HDR (also ) und verschiedenen anderen 75% Wahrscheinlichkeitsbereichen für eine Mischung aus zwei Normalen ( ist das Quantil, der Mittelwert und der Standardabweichung der Dichte):c q q μ $\alpha=0.25$$c_q$$q$$\mu$$\sigma$

Die Idee in einer Dimension ist, eine horizontale Linie zu nehmen und sie nach oben zu verschieben (zu ), bis der Bereich darüber und unter der Dichte . Dann ist der HDR die Projektion auf die Achse dieses Bereichs. 1 - α R α$y=f_\alpha$$1-\alpha$$R_\alpha$$x$

Natürlich funktioniert all dies mit jeder Dichte, ob nach Bayes oder anderswo.

Hier ist ein Link zu R-Code, der das hdrcdePaket ist (und zu dem Artikel über JSTOR).

Eine höchste hintere Dichte [Intervall] ist im Grunde das kürzeste Intervall einer hinteren Dichte für ein bestimmtes Konfidenzniveau. Eine Region mit der höchsten Dichte ist wahrscheinlich die gleiche Idee, die auf eine beliebige Dichte angewendet wird, also nicht unbedingt auf eine hintere Verteilung.

Wenn Ihr Konfidenzniveau ist, können Sie immer zwei Quantile , finden, die Ihnen ein Arbeitsintervall geben. Es gibt jedoch einige, und alle haben unterschiedliche Längen. Du willst das kürzeste.q 1 - α / 2 + c q α / 2 - $1-\alpha$$q_{1-\alpha/2 + c}$$q_{\alpha/2 -c}$

Wenn Ihre Dichte unimodal ist, tritt das kürzeste Intervall bei den beiden Quantilen und so dass .a b f ( a ) = f ( b $f(\cdot)$$a$$b$$f(a) = f(b)$