Bedeutet konvexe Ordnung eine Dominanz des rechten Schwanzes?

10

Angesichts zweier kontinuierlicher Verteilungen und ist mir nicht klar, ob das Verhältnis der konvexen Dominanz zwischen ihnen: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

impliziert, dass

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

gilt oder ob eine weitere Hypothese erforderlich ist, wenn gelten soll? $(1)$

Definition der konvexen Dominanz.

Wenn zwei kontinuierliche Verteilungen und erfüllen: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) is convex in x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0] dann schreiben wir:

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

und sagen Sie, dass mehr rechtwinklig ist als . Da und Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind, impliziert auch, dass die Ableitung von monoton nicht abnehmend und nicht negativ ist [1], dass ist konvex [2], dass sich und höchstens zweimal [2] und [2] für : $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] Zwet, WR van (1964). Konvexe Transformationen zufälliger Variablen. (1964). Amterdam: Mathematisches Zentrum.
[1] Oja, H. (1981). Über Ort, Größe, Schiefe und Kurtosis univariater Verteilungen. Skandinavisches Journal of Statistics. Vol. 8, S. 154-168
[2] RA Groeneveld und G. Meeden. (1984). Schiefe und Kurtosis messen. Der Statistiker. 33: 391 & ndash; 399.

probability probability-inequalities distributions user603
quelle

1

Ich nehme an, es gibt einen Fehler in der letzten Ungleichung - wenn sie , würde Symmetrie Gleichheit bedeuten , was wiederum symmetrisch für gegen .

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

Juho Kokkala

1

Beachten Sie, dass nach Gleichung (6) von [2] .

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

Juho Kokkala

Du hast Recht. Mein Fehler. Ich behebe das jetzt.

user603

2

Im Allgemeinen ist es nicht wahr. Betrachten Sie zum Beispiel und . $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

Sie können sofort sehen, dass . Jedoch ist . Es ist jedoch wahr , dass aus einer bestimmten auf, für alle . $\nu\leq_{cx}\mu$ $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

user123456
quelle

Könnten Sie dieser Antwort bitte einige Erklärungen hinzufügen? Es ist ein bisschen kurz für unsere Standards!

kjetil b halvorsen

4

Ok, ich denke das kann so gelöst werden (Kommentare willkommen):

Bezeichnet und die Verteilungen von und und erinnert sich daran $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

impliziert (Oja, 1981), dass so dass: $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

Da die Verschiebung die konvexe Ordnung nicht beeinflusst, können wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, dass so verschoben wurde, dass: $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

damit

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

Es scheint also , dass ja , die konvexe Reihenfolge von die Dominanz des rechten Schwanzes von über impliziert (oder genauer gesagt eine Version von ) $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

user603
quelle

Bedeutet konvexe Ordnung eine Dominanz des rechten Schwanzes?

Antworten:

Ok, ich denke das kann so gelöst werden (Kommentare willkommen):