Jeffreys Prior für die Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und unbekannter Varianz

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Ich lese über frühere Verteilungen und habe Jeffreys zuvor für eine Stichprobe normalverteilter Zufallsvariablen mit unbekanntem Mittelwert und unbekannter Varianz berechnet. Nach meinen Berechnungen gilt für Jeffreys Prior Folgendes:

p(μ,σ2)=det(I)=det(1/σ2001/(2σ4))=12σ61σ3.
HierIFischers Informationsmatrix.

Ich habe jedoch auch Veröffentlichungen und Dokumente gelesen, in denen es heißt

als Jeffreys vor für den Fall einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Varianz. Was ist der "tatsächliche" Jeffreys Prior?

Nussig
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Antworten:

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Ich denke, die Diskrepanz erklärt sich dadurch, ob die Autoren die Dichte über oder die Dichte über σ 2 berücksichtigen . Zur Unterstützung dieser Interpretation schreiben Kass und Wassermann genau π ( μ , σ ) = 1 / σ 2 , während Yang und Berger π ( μ , σ 2 ) = 1 / σ 4 schreiben .σσ2

π(μ,σ)=1/σ2,
π(μ,σ2)=1/σ4.
A. Donda
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2
Danke, ich habe das übersehen. Dies erklärt jedoch immer noch nicht die Diskrepanz zwischen und 1 / σ 4 . 1/σ31/σ4
Nussig
3
Tatsächlich ist ein Prior von dasselbe wie ein Prior von π ( μ , σ 2 ) = 1 / σ 3 , aufgrund der Reparametrisierungseigenschaft von Jeffreys Prior: π ( μ , σ ) = π ( μ , σ 2 ) d e t ( J f ) 1π(μ,σ)=1/σ2π(μ,σ2)=1/σ3 mitJfdie Jacobi-Matrix vonf:(μ,σ)(μ,σ2), dh Jf=( 1 0 0 2 σ ).
π(μ,σ)=π(μ,σ2)det(Jf)1σ32σ1σ2
Jff:(μ,σ)(μ,σ2)
Jf=(1002σ)
Nussig
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1/σ31/σ
3
π(μ,σ)=1/σπ(μ,σ2)=1/σ2π(μ,σ2)=1/σ4
2
Jim Berger ist immer noch ein aktiver Wissenschaftler. Um
A. Donda
4

μσ2[μ]m[σ2]m2σ

π(μ,σ)1/σ2
π(μ,σ2)1/σ3
Dr_Zaszuś
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σ3
3

1σ31σ2log(σ)

Jorne Biccler
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1
log(σ)χ2
(μ,σ2)|DNχ1(X¯,n,n,1n(XiX¯)2).
The prior 1/σ2 should result in a normal-inverse-χ2 posterior, too, just with different parameters.
Nussig
1
Ooh, yes it leads to a normal-inverse-χ2(X¯,n,n1,s2). I just find it more natural that the marginal of σ2 is an inverse χ2 with n-1 instead of n degrees of freedom. Anyhow, I certainly did not want to imply that the other priors would lead to annoying distributions. To be honest I didn't know the posterior of the Jeffry's prior by heart nor did I really think to much about it when I wrote the post.
Jorne Biccler