Unvoreingenommene Schätzer für Schiefe und Kurtosis

Die Schiefe und Kurtosis sind definiert als:

ζ_{3} = \frac{E. [(X. - - μ)^{3}]]}{E. [(X. - - μ)^{2} {]]}^{3 /. 2}} = \frac{μ_{3}}{σ^{3}}

$\zeta_3 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{E[(X-\mu)^2]^{3/2}} = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ζ_{4} = \frac{E. [(X. - - μ)^{4}]]}{E. [(X. - - μ)^{2} {]]}^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

$\zeta_4 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{E[(X-\mu)^2]^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

Die folgenden Formeln werden verwendet, um die Schiefe und Kurtosis der Probe zu berechnen:

z_{3} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{ich = 1}^{n} [(x_{ich} - - \bar{x})^{3}]]}{(\frac{1}{n} \sum_{ich = 1}^{n} [(x_{ich} - - \bar{x})^{2}]])^{3 /. 2}}

$z_3 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^3]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^{3/2}}$

z_{4} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{ich = 1}^{n} [(x_{ich} - - \bar{x})^{4}]]}{(\frac{1}{n} \sum_{ich = 1}^{n} [(x_{ich} - - \bar{x})^{2}]])^{2}}

$z_4 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^4]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^2}$

Meine Frage ist: Sind diese Schätzer unvoreingenommen? Ich weiß nicht, ob ich eine unvoreingenommene Standardabweichung oder die voreingenommene im Nenner verwenden soll.

Wenn wir eine Funktion deren Variablen unverzerrte Schätzer sind, können wir dann im Allgemeinen auch sagen, dass ein unverzerrter Schätzer ist? $f$ $f$

skewness unbiased-estimator kurtosis SiXUlm
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Antworten:

Siehe S. 8-9 von http://modelingwithdata.org/pdfs/moments.pdf . Unter http://www.amstat.org/publications/jse/v19n2/doane.pdf finden Sie auch einige nützliche Perspektiven, um Ihr Denken in die richtige Stimmung zu bringen.

$\sigma$

Eine nichtlineare Funktion eines unverzerrten Schätzers wird nicht unbedingt unverzerrt sein ("fast sicher" wird es nicht sein). Die Richtung der Verzerrung kann durch Jensens Ungleichung https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality bestimmt werden, wenn die Funktion konvex oder konkav ist.

Mark L. Stone
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σ

$\sigma$

Sie müssen sich entscheiden, ob Sie die beste Antwort wünschen, die Sie bekommen können, oder nicht. Wenn Sie die beste Antwort wünschen, zahlen Sie den Preis bei Bedarf als Komplikation.

Mark L. Stone

Bias ist nicht unbedingt schlecht. Sie müssen auch die Varianz berücksichtigen. Die Nähe des Schätzers zum Schätzer kann unter Verwendung der erwarteten quadratischen Abweichung von Schätzer zu Schätzer gemessen werden, die gleich der Varianz des Schätzers plus der quadratischen Vorspannung des Schätzers ist. In vielen Fällen gibt es einen "Varianz-Bias-Kompromiss", bei dem die Zunahme der Vorspannung durch die Verringerung der Varianz mehr als ausgeglichen wird. Ich würde wetten, dass dies für die Schätzungen von Kurtosis und Schiefe gilt. Möchte jemand etwas dazu recherchieren?

Peter Westfall

Gibt es in diesem Fall einen Kompromiss?

Xiaoxiong Lin

@ Filippo Modelingwithdata.org/about_the_book.html

Mark L. Stone