Wie wird die Notation gelesen?

Wie wird die Notation gelesen? Ist es folgt einer Normalverteilung? Oder ist eine Normalverteilung? Oder vielleicht ist ungefähr normal.X X $X\sim N(\mu,\sigma^2)$$X$ $X$ $X$

Was ist, wenn mehrere Variablen derselben Verteilung folgen (oder was auch immer die Wörter sind)? Wie ist es geschrieben?

Ich denke, die Variable X ist gemäß der Normalverteilung mit dem mittleren Vektor und der Standardabweichung .$\mu$$\sigma$

Bezüglich der Verwendung von Symbolen ("folgt", "wird gemäß" verteilt) und ("entspricht ungefähr") siehe diese Antwort . So werden die Symbole zumindest in Statistik / Ökonometrie verwendet.$\sim$$\approx$

In Bezug auf die Notationskonventionen für eine Verteilung ist die Normalität ein Grenzfall : Wir schreiben normalerweise die definierenden Parameter einer Verteilung neben ihr Symbol, die Parameter, die es einem ermöglichen, ihre kumulative Verteilungsfunktion und ihre Wahrscheinlichkeitsdichte- / Massenfunktion korrekt zu schreiben. Wir notieren nicht die Momente, die normalerweise eine Funktion dieser Parameter sind, aber nicht diesen entsprechen.

Für eine Uniform, die in , schreiben wir . Der Mittelwert der Verteilung ist während die Varianz 2/12 ist . Für ein Gamma (Formskalenparametrisierung) schreiben wir . Der Mittelwert ist und die Varianz . Etc.U ( a , b ) ( a + b ) / 2 ( b - a ) 2 / 12 G ( k , θ ) k θ k θ $[a,b]$$U(a,b)$$(a+b)/2$$(b-a)^2/12$$G(k,\theta)$$k\theta$$k\theta^2$

Im Fall der Normalverteilung ist der Parameter zufällig auch der Mittelwert der Verteilung, während der Parameter zufällig die Quadratwurzel der Varianz ist. Es ist mein (möglicherweise falscher) Eindruck, dass man in technischen Kreisen häufiger sieht (was der allgemeinen Notationsregel entspricht), während man in ökonometrischen Kreisen fast immer sieht (was der Versuchung entspricht, die Momente bereitzustellen, indem als Basisparameter und nicht als Quadrat davon behandelt wird).σ N ( μ , σ ) N ( μ , σ 2 ) σ $\mu$$\sigma$$N(\mu, \sigma)$$N(\mu, \sigma^2)$$\sigma^2$

BEARBEITEN: Meine vorherige Antwort konnte die eigentliche Frage nicht beantworten. Was folgt, ist mein Versuch, eine präzisere Antwort zu geben.

Wie wird die Notation gelesen?$X \sim N(\mu,\sigma^2)$

Andere Antworten sagen Ihnen bereits, was die Notation bedeutet, nämlich dass eine normalverteilte Zufallsvariable mit einem Mittelwert μ und einer Varianz σ 2 ist . Dilips Antwort gibt auch einen guten Überblick darüber, welche anderen möglichen Interpretationen es gibt, wenn die Notation weniger klar als σ 2 ist , z. B. für allgemeine Parameter { a , b } , nämlich. X ∼ N ( a , b ) .$X$$\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$$\{a,b\}$$X\sim N(a,b)$

Immer wenn ich diese Notation im Text sehe, neige ich dazu, sie so zu lesen, dass sie grammatikalisch sinnvoll ist. Ich würde behaupten, dass dies der vernünftige Weg ist, die Notation zu behandeln. Die Antwort auf Ihre Frage lautet also: Wenn Sie wissen, was die Notation mathematisch bedeutet, lesen Sie sie einfach so, wie es zum Text passt. Hier sind zwei Beispiele:

(1) Sei ...$X \sim N(a,b)$

(2) Betrachten Sie drei unabhängige Zufallsvariablen, $X\sim N(0,1), Y\sim N(1,2), Z \sim Exp(\lambda).$

In (1) lese ich es als (zB) "Sei normalverteilt mit Mittelwert a und Varianz b ..." und in (2) lese ich es als "... X ist Standardnormal ...".$X$$X$

Folgt X einer Normalverteilung?

Ja das funktioniert auch. Viele Leute sagen es so, obwohl Sie vielleicht den Mittelwert und die Varianz einbeziehen möchten, die die Verteilung charakterisieren.

Oder ist X eine Normalverteilung?

Nein, das ist falsch. In meiner alten Antwort finden Sie einen Bericht darüber, was eine Verteilung ist.

Oder vielleicht ist X ungefähr normal.

Nein, das ist auch falsch. Es gibt andere Möglichkeiten, dies zu bezeichnen. Wie in den Kommentaren darauf hingewiesen, ist einer von ihnen.$\overset{\cdot}{\sim}$

Was ist, wenn mehrere Variablen derselben Verteilung folgen (oder was auch immer die Wörter sind)? Wie ist es geschrieben?

Wenn sie alle unabhängig sind, ist eine einfache Möglichkeit, dies zu schreiben, , vorausgesetzt , Sie haben n Variablen (iid steht für unabhängig und identisch verteilt ). Wenn sie nicht unabhängig sind, kann man sagen, dass X i , i = 1 , 2 , … , n möglicherweise abhängig sind, aber (geringfügig) identisch als N ( μ ) verteilt sind$X_i \overset{iid}{\sim} N(\mu,\sigma^2),i=1,2,\dots n$$n$$X_i, i=1,2,\dots,n$ . Oder Sie müssen stattdessen ihre gemeinsame Verteilung deklarieren - das hängt davon ab, welchen Zweck Sie für die Berücksichtigung der Zufallsvariablen haben.$N(\mu,\sigma^2)$

Wenn sie gemeinsam normal sind, ist es einfach zu schreiben, dass , um ihre gemeinsame Verteilung unter Verwendung eines mittleren Vektors μ und einer Kovarianzmatrix Σ vollständig zu charakterisieren .$\mathbf X :=(X_1,\dots,X_n)'\sim N(\mu, \Sigma)$$\mu$$\Sigma$

Im Allgemeinen können Sie eine beliebige multivariate Verteilungsfunktion und dann X ∼ F schreiben .$F$$\mathbf X \sim F$

Die Schwierigkeit besteht nicht darin zu wissen, was bedeutet. Sogar N ( 3 , 5 2 ) ist für die meisten Menschen einigermaßen eindeutig, da es eine normale Zufallsvariable mit Mittelwert 3 und Varianz 5 2 oder Varianz 25 bedeutet (Puristen sollten glauben, dass die Standardabweichung ein grundlegenderer Parameter ist, als die Varianz frei sagen sollte "Standardabweichung 5 " stattdessen). Was jedoch mit N ( a , b ) gemeint ist , zB N ( $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$$\mathcal N(3,5^2)$$3$$5^2$$25$$5$$\mathcal N(a,b)$ unterliegt mindestens drei verschiedenen Konventionen hinsichtlich der Varianz oder Standardabweichung. Alle drei Konventionen stimmen darin überein, dass die 3 derMittelwert μ X von X ist, aber die 2 5 für verschiedene Personen unterschiedliche Bedeutungen haben.$\mathcal N(3,25)$$\mathbf 3$ $\mu_X$$X$$\mathbf 25$

• bedeutet, dass dieStandardabweichungvon X 25 beträgt. $X \sim \mathcal N(\star,25)$$X$$25$

• bedeutet, dass dieVarianzvon X 25 beträgt.$X \sim \mathcal N(\star,25)$$X$$25$

• $X \sim \mathcal N(\star,25)$$X$$\dfrac{1}{25}$

In dieser Frage und den folgenden Kommentaren finden Sie einige Details.

$X$$X$

$\sim$

$N$

$\mu$$\mu$

$\sigma^2$$\sigma^2$$\sigma^2$$\sigma^2$

$X$$\mu$$\sigma^2$

$X$

$i=1$$n$$X_i\sim N(\mu, \sigma^2)$$i=1$$n$

$X$$\mu$$\sigma$