Eine standardisierte Gaußsche Verteilung auf kann durch explizite Angabe der Dichte definiert werden: 1
oder seine charakteristische Funktion.
Wie in dieser Frage erwähnt, ist es auch die einzige Verteilung, für die der Stichprobenmittelwert und die Varianz unabhängig sind.
Welche andere überraschende alternative Charakterisierung von Gaußschen Maßen kennen Sie? Ich werde die überraschendste Antwort annehmen
Die kontinuierliche Verteilung mit fester Varianz, die die Differentialentropie maximiert, ist die Gaußsche Verteilung.
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Darüber ist ein ganzes Buch geschrieben: "Charakterisierungen des normalen Wahrscheinlichkeitsgesetzes", AM Mathai & G. Perderzoli. Eine kurze Übersicht in JASA (Dezember 1978) erwähnt Folgendes:
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Gaußsche Verteilungen sind die einzigen summenstabilen Verteilungen mit endlicher Varianz.
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Stein's Lemma bietet eine sehr nützliche Charakterisierung. ist ein Standard-Gaußscher Wert für für alle absolut stetigen Funktionen mit .E f ' ( Z ) = E Z f ( Z ) f E | f ′ ( Z ) | < ∞Z
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Theorem [Herschel-Maxwell]: Sei ein Zufallsvektor, für den (i) Projektionen in orthogonale Teilräume unabhängig sind und (ii) die Verteilung von nur von der Länge abhängt. Dann ist normalverteilt. Z ‖ Z ‖ ZZ∈Rn Z ∥Z∥ Z
Zitiert von George Cobb in Teaching Statistics: Einige wichtige Spannungen (Chilean J. Statistics Vol. 2, Nr. 1, April 2011) auf S. 54.
Cobb verwendet diese Charakterisierung als Ausgangspunkt für die Ableitung der Verteilungen , und , ohne die Verwendung von Calculus (oder viel Wahrscheinlichkeitstheorie). t Fχ2 t F
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Sei und zwei unabhängige Zufallsvariablen mit einer gemeinsamen symmetrischen Verteilung, so dassξη ξ
Dann sind diese Zufallsvariablen Gauß. (Wenn und gauß-zentriert sind, ist dies offensichtlich richtig.)ξ η
Dies ist der Bobkov-Houdre-Satz
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Dies ist keine Charakterisierung, sondern eine Vermutung, die aus dem Jahr 1917 stammt und Cantelli zu verdanken ist:
Erwähnt von Gérard Letac hier .
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Angenommen, man schätzt einen Standortparameter mit iid-Daten . Wenn der Maximum-Likelihood-Schätzer ist, ist die Stichprobenverteilung Gauß. Nach Jaynes ' Wahrscheinlichkeitstheorie: The Logic of Science, S. 202-4, leitete Gauss sie ursprünglich so ab.{x1,...,xn} x¯
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Eine genauere Charakterisierung der Normalverteilung innerhalb der Klasse der unendlich teilbaren Verteilungen findet sich in Steutel und Van Harn (2004) .
Dieses Ergebnis charakterisiert die Normalverteilung hinsichtlich ihres Schwanzverhaltens.
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Im Rahmen der Bildglättung (zB Skalenraum ) ist der Gaußsche Kern der einzige rotationssymmetrisch trennbare * Kern.
Das heißt, wenn wir benötigen wobei , dann erfordert Rotationssymmetrie entspricht .
Voraussetzung dafür, dass ein richtiger Kernel ist, ist, dass die Konstante negativ und der Anfangswert positiv ist, was den Gaußschen Kernel ergibt.f[x]
* Im Kontext von Wahrscheinlichkeitsverteilungen bedeutet separabel unabhängig, während im Kontext von Bildfilterung die 2D-Faltung rechnerisch auf zwei 1D-Faltungen reduziert werden kann.
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Kürzlich veröffentlichte Ejsmont Artikel mit neuer Charakterisierung von Gauß:
Sei unabhängige Zufallsvektoren mit allen Momenten, in denen nicht entartet sind, und sei statistic haben eine Verteilung, die nur von abhängt , wobei und . Dann ist unabhängig und hat die gleiche Normalverteilung mit dem Null und für .(X1,…,Xm,Y) and (Xm+1,…,Xn,Z) Xi ∑ni=1aiXi+Y+Z ∑ni=1a2i ai∈R 1≤m<n Xi i ∈ { 1 , … , n }cov(Xi,Y)=cov(Xi,Z)=0 i∈{1,…,n}
[1] Ejsmont, Wiktor. "Eine Charakterisierung der Normalverteilung durch die Unabhängigkeit eines Paares von Zufallsvektoren." Statistics & Probability Letters 114 (2016): 1-5.
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Seine charakteristische Funktion hat die gleiche Form wie sein pdf. Ich bin mir nicht sicher, ob dies bei einer anderen Distribution der Fall ist.
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Die Erwartung plus minus der Standardabweichung sind die Sattelpunkte der Funktion.
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