Erwarteter Wert als Funktion von Quantilen?

Ich habe mich gefragt, wo es eine allgemeine Formel gibt, um den erwarteten Wert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen als Funktion der Quantile desselben rv in Beziehung zu setzen. Der erwartete Wert von rv ist definiert als: und Quantile sind definiert als: für .$X$
$E(X) = \int x dF_X(x)$$Q^p_X = \{x : F_X(x) = p \} =F_X^{-1}(p)$$p\in(0,1)$

Gibt es zum Beispiel eine Funktionsfunktion so dass: $G$$E(X) = \int_{p\in(0,1)} G(Q^p_X) dp$

Die Inverse (im diskreten Fall rechts invers) der kumulativen Verteilungsfunktion wird als Quantilfunktion bezeichnet und oft mit . Die Erwartung kann in Form der Quantilfunktion (wenn die Erwartung besteht ...) als Für den kontinuierlichen Fall kann dies durch eine einfache Substitution im Integral gezeigt werden: Write und dann über implizite Differenzierung führt zu : Wir haben aus durch Anwenden von$F(x)$$Q(p)=F^{-1}(p)$$\mu$

$$\mu=\int_0^1 Q(p)\; dp$$ $$\mu = \int x f(x) \; dx$$ $p=F(x)$$dp = f(x) \; dx$ $$\mu = \int x \; dp = \int_0^1 Q(p) \; dp$$ $x=Q(p)$$p=F(x)$$Q$ auf beiden Seiten.