Wie kann man beweisen, dass ein Ereignis unendlich oft auftritt (fast sicher)?

8

Übung: Es gibt einen fairen 6-seitigen Würfel und eine voreingenommene Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von p> 0, dass bei jedem Wurf Köpfe auftauchen. Der Würfel wird unendlich oft gewürfelt, und wenn Sie eine 6 würfeln, werfen Sie die Münze. Beweisen Sie, dass Sie mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft "Köpfe" werfen.

Jetzt verstehe ich diese Frage intuitiv; Unendliche Würfelwürfe bedeuten unendlich viele Vorkommen jeder Zahl auf dem Würfel, einschließlich 6, was bedeutet, dass die Münze auch unendlich oft geworfen wird, und da die Chance besteht, dass Köpfe ein Ergebnis sind, erhalten wir auch unendlich viele Köpfe.

Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich das in mathematischer Notation ausdrücken soll, und ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann.

probability self-study proof theory FaxDogTitanicSoccer
quelle

Was wissen Sie bereits, das Sie verwenden können? Haben Sie zum Beispiel bereits festgestellt, dass die Anzahl der Köpfe, die in unendlich vielen Flips einer voreingenommenen Münze erscheinen, mit ziemlicher Sicherheit unendlich sein wird?

whuber

Nein, das muss noch festgestellt werden. Ich habe versucht, die Binomialverteilung zu verwenden, da n gegen unendlich geht, aber das führt nirgendwo hin ...

FaxDogTitanicSoccer

Ich glaube, dass dies eine Anwendung des umgekehrten Ergebnisses des Borel-Cantelli-Lemmas ist ... en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93Cantelli_lemma Hilft dies?

RayVelcoro

7

Der Probenraum besteht aus sieben möglichen Ergebnissen: "1" bis "5" auf dem Würfel, "6" und "Schwänze" sowie "6" und "Köpfe". Abkürzen wir diese mit . $\Omega=\{1,2,3,4,5,6T,6H\}$

Die Ereignisse werden von den Atomen und daher sind alle Teilmengen von messbar. $\{1\}, \{2\}, \ldots, \{6H\}$ $\Omega$

Das Wahrscheinlichkeitsmaß wird durch seine Werte an diesen Atomen bestimmt. Die Informationen in der Frage zusammen mit der (vernünftigen) Annahme, dass der Münzwurf unabhängig vom Würfelwurf ist, sagen uns, dass diese Wahrscheinlichkeiten wie in dieser Tabelle angegeben sind: $\mathbb{P}$

\begin{array}{lc} Outcome & Probability \\ 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ 6T & \frac{1 - p}{6} \\ 6H & \frac{p}{6} \end{array}

$\begin{array}{lc} \text{Outcome} & \text{Probability} \\ 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ \text{6T} & \frac{1-p}{6} \\ \text{6H} & \frac{p}{6} \end{array}$

Eine Folge unabhängiger Realisierungen von ist eine Folge deren Elemente alle in . Nennen wir die Menge all dieser Sequenzen . Das Grundproblem liegt hier im Umgang mit unendlichen Folgen. Die motivierende Idee hinter der folgenden Lösung besteht darin, die Wahrscheinlichkeitsberechnung so lange zu vereinfachen, bis sie auf die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines endlichen Ereignisses reduziert werden kann . Dies erfolgt schrittweise. $X$ $(\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n, \ldots)$ $\Omega$ $\Omega^\infty$

Um die Wahrscheinlichkeiten überhaupt zu diskutieren, müssen wir zunächst ein Maß für , das Ereignisse wie " tritt unendlich oft auf" zu messbaren Mengen macht. Dies kann in Form von "grundlegenden" Mengen erfolgen, die keine unendliche Angabe von Werten beinhalten. Da wir wissen, wie man Wahrscheinlichkeiten auf der Menge der endlichen Sequenzen der Länge , definiert, definieren wir die "Erweiterung" jedes messbaren , das aus allen unendlichen Sequenzen , die ein Element von haben $\Omega^\infty$ $6H$ $\mathbb{P}_n$ $n$ $\Omega^n$ $E \subset \Omega^n$ $\omega\in\Omega^\infty$ $E$ als Präfix:

{E.}^{\infty} = {(ω_{ich}) \in Ω^{\infty} | (ω_{1}, \dots, ω_{n}) \in E.}} .

$E^\infty = \{(\omega_i)\in\Omega^\infty\,|\, (\omega_1,\ldots,\omega_n)\in E\}.$

Die kleinste Sigma-Algebra auf , die alle diese Mengen enthält, ist die, mit der wir arbeiten werden. $\Omega^\infty$

Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf wird durch die endlichen Wahrscheinlichkeiten . Das heißt, für alle und alle , $\mathbb{P}_\infty$ $\Omega^\infty$ $\mathbb{P}_n$ $n$ $E\subset \Omega^n$

{P.}_{\infty} ({E.}^{\infty}) = {P.}_{n} (E.) .

$\mathbb{P}_\infty(E^\infty) = \mathbb{P}_n(E).$

(Die vorstehenden Aussagen über die Sigma-Algebra auf und das Maß sind elegante Methoden, um das auszuführen, was zu einschränkenden Argumenten führt.) $\Omega^\infty$ $\mathbb{P}_\infty$

Nachdem wir diese Formalitäten erledigt haben, können wir die Berechnungen durchführen. Um zu beginnen, müssen wir feststellen, dass es sogar sinnvoll ist, die "Wahrscheinlichkeit" von zu diskutieren, die unendlich oft auftritt. Dieses Ereignis kann als Schnittpunkt von Ereignissen vom Typ " tritt mindestens mal auf" für konstruiert werden . Da es sich um einen zählbaren Schnittpunkt messbarer Mengen handelt, ist es messbar, sodass seine Wahrscheinlichkeit besteht. $6H$ $6H$ $n$ $n=1, 2, \ldots$

Zweitens müssen wir diese Wahrscheinlichkeit berechnen, dass unendlich oft auftritt. Eine Möglichkeit besteht darin, die Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses zu berechnen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur endlich oft auftritt? Dieses Ereignis wird messbar sein, da es die Ergänzung einer messbaren Menge ist, wie wir bereits festgestellt haben. kann in Ereignisse der Form " tritt genau mal auf" für . Weil es nur zählbar viele davon gibt, ist die Wahrscheinlichkeit von $6H$ $6H$ $E$ $E$ $E_n$ $6H$ $n$ $n=0, 1, 2, \ldots$ ist die (zählbare) Summe der Wahrscheinlichkeiten von . Was sind diese Wahrscheinlichkeiten? $E$ $E_n$

Noch einmal können wir eine Partition tun: bricht in Ereignisse der Form „ kommt genau mal bei Rolle und nie wieder vorkommt.“ Diese Ereignisse sind disjunkt und zahlenmäßig zählbar. Alles, was wir (wieder!) Tun müssen, ist, ihre Chancen zu berechnen und zu addieren. Aber schließlich haben wir das Problem auf eine reduzierte endliche Berechnung: ist nicht größer als die Chance eines endlichen Ereignis des Formulars " für die auftritt $E_n$ $E_{n,N}$ $6H$ $n$ $N$ $\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$ $6H$ Mal bei Rolle und tritt nicht zwischen den Rollen und . "Die Berechnung ist einfach, da wir die Details nicht wirklich kennen müssen: Jedes Mal, wenn um erhöht,erhöht sichdie Chance - was auch immer es sein mag. -ist weiter multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass nicht gewürfelt wird, was . Dadurch erhalten wir eine geometrische Folge mit dem gemeinsamen Verhältnis . Unabhängig vom Startwertwächst es willkürlich klein wie $n^\text{th}$ $N$ $N$ $M \gt N$ $M$ $1$ $6H$ $1-p/6$ $r = 1-p/6 \lt 1$ wird groß. $M$

(Beachten Sie, dass wir nicht eine Grenze von Wahrscheinlichkeiten nehmen müssen: wir nur zu zeigen erforderlich , dass die Wahrscheinlichkeit von . Wird durch Zahlen nach oben beschränkt , die auf Null konvergieren) $E_{n,N}$

Folglich kann keinen Wert größer ist als , von wo aus er gleich ist . Entsprechend, $\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$ $0$ $0$

{P.}_{\infty} ({E.}_{n}) = \sum_{N. = 0}^{\infty} {P.}_{\infty} ({E.}_{n, N.}) = 0.

$\mathbb{P}_\infty(E_n) = \sum_{N=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_{n,N}) = 0.$

Wo sind wir? Wir haben gerade festgestellt, dass für jedes die Chance, genau Ergebnisse von beobachten, gleich Null ist. Durch Addition all dieser Nullen schließen wir, dass Dies ist die Chance, dass nur endlich oft vorkommt. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass unendlich oft auftritt, $n \ge 0$ $n$ $6H$

{P.}_{\infty} (E.) = \sum_{n = 0}^{\infty} {P.}_{\infty} ({E.}_{n}) = 0.

$\mathbb{P}_\infty(E) = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_n) = 0.$

6 H

$6H$

6 H

$6H$

1 - 0 = 1

$1-0 = 1$ , QED .

Jede Aussage im vorhergehenden Absatz ist so offensichtlich, dass sie intuitiv trivial ist. Die Übung, seine Schlussfolgerungen mit einiger Genauigkeit unter Verwendung der Definitionen von Sigma-Algebren und Wahrscheinlichkeitsmaßen zu demonstrieren, hilft zu zeigen, dass diese Definitionen die richtigen sind, um mit Wahrscheinlichkeiten zu arbeiten, selbst wenn unendliche Sequenzen beteiligt sind.

whuber
quelle

7

Sie haben zwei nette Antworten, die die Frage mit grundlegenden Wahrscheinlichkeitsprinzipien beantworten. Hier sind zwei Sätze, die Ihnen helfen, diese Frage in Situationen, in denen solche Lösungen angemessen sind, schnell zu beantworten:

Das starke Gesetz der großen Zahlen (SLLN) besagt, dass für unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit endlichem Mittelwert der Stichprobenmittelwert fast sicher gegen den wahren Mittelwert konvergiert.

Das zweite Borel-Cantelli-Lemma (BC2) sagt Ihnen, dass, wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten einer Folge unabhängiger Ereignisse unendlich ist, unendlich viele dieser Ereignisse mit ziemlicher Sicherheit eintreten werden.

So beantwortet dies Ihre Frage mit SLLN:

$Y_i$ $i$ $Y_i$ $\theta:=p/6>0$ $\sum_{i=1}^n Y_i/n \to \theta$ $\sum_{i=1}^n Y_i \to \infty$

So beantwortet dies Ihre Frage mit BC2:

$E_i$ $i$ $P(E_i)=p/6>0$ $i$ $\sum_{i=1}^nP(E_i)\to\infty$ $E_i$

Ich betone, dass diese beiden Antworten eine Menge Maschinen erfordern, die in zwei Theoremen verborgen sind, und dass jeder, der daran interessiert ist, diese und ähnliche Fragen zu beantworten, entscheiden muss, ob sie angemessen sind.

ekvall
quelle

2

+1 Diese Bemerkungen stellen sehr klare Zusammenhänge mit Standard- und wichtigen Ergebnissen her.

whuber

1

$I_j$ $j^{\text{th}}$

\sum_{j = 0}^{\infty} P. ({ich}_{j}) \overset{?}{=} 0.

$\sum_{j=0}^\infty P(I_j) \stackrel{?}{=} 0.$

P (I_{j}) = 0

$P(I_j) = 0$

j

$j$

A_{j, n}

$A_{j,n}$

n

$n$

j^{th}

$j^{\text{th}}$

I_{j} \subseteq A_{j, n}

$I_j \subseteq A_{j,n}$

n

$n$

P (I_{j}) \leq P (A_{j, n})

$P(I_j) \le P(A_{j,n})$

n \to \infty

$n \to \infty$

P (I_{j}) \leq lim_{n \to \infty} P (A_{j, n}) = 0

$P(I_j) \le \lim_{n \to \infty} P(A_{j,n}) = 0$

P (A_{j, n})

$P(A_{j,n})$

n - j - 1

$n-j - 1$

(EDIT: Dies mag mehr oder weniger der Antwort von @whuber entsprechen, aber mit etwas weniger Formalität / Detail, da ich davon ausgehe, dass OP nicht in einem messungstheoretischen Rahmen liegt.)

Kerl
quelle

Wie kann man beweisen, dass ein Ereignis unendlich oft auftritt (fast sicher)?

Antworten: