Ich frage mich nur, ob es möglich ist, den erwarteten Wert von x zu finden, wenn er normalverteilt ist, da dieser unter einem bestimmten Wert liegt (z. B. unter dem Mittelwert).
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Ich frage mich nur, ob es möglich ist, den erwarteten Wert von x zu finden, wenn er normalverteilt ist, da dieser unter einem bestimmten Wert liegt (z. B. unter dem Mittelwert).
Antworten:
Eine normalverteilte VariableX mit dem Mittelwert μ und der Varianz σ2 hat die gleiche Verteilung wie σZ+μ wobei Z eine Standardnormalvariable ist. Alles was Sie über wissen müssen, Z ist das
Die ersten beiden Aufzählungszeichen sind nur Notation und Definitionen: Das dritte ist die einzige spezielle Eigenschaft von Normalverteilungen, die wir benötigen.
Lassen Sie den „bestimmten Wert“ sein . Im Vorgriff auf die Änderung von X zu Z definierenT X Z
damit
Beginnend mit der Definition der bedingten Erwartung können wir dann ihre Linearität ausnutzen, um zu erhalten
Der Fundamentalsatz des Kalküls besagt, dass jedes Integral einer Ableitung durch Auswertung der Funktion an den Endpunkten gefunden wird: . Dies gilt für beide Integrale. Da sowohl Φ als auch ϕ bei - ∞ verschwinden müssen , erhalten wir∫baF′(z)dz=F(b)−F(a) Φ ϕ −∞
Dies ist der ursprüngliche Mittelwert abzüglich eines Korrekturterms, der proportional zum Inverse Mills Ratio ist .
Wie zu erwarten ist, muss das inverse Mills-Verhältnis für positiv sein und - t überschreiten (dessen Grafik mit einer gepunkteten roten Linie dargestellt ist). Es muss auf 0 sinken, wenn t groß wird, denn dann ändert die Kürzung bei Z = t (oder X = T ) fast nichts. Wenn t sehr negativ wird, muss sich das inverse Mills-Verhältnis annähern - t, da die Schwänze der Normalverteilung so schnell abnehmen, dass fast die gesamte Wahrscheinlichkeit im linken Schwanz nahe seiner rechten Seite (bei t ) konzentriert ist.t −t 0 t Z=t X=T t −t t
Wenn schließlich im Mittelwert liegt, ist t = 0, wobei das inverse Mills-Verhältnis gleich √ istT=μ t=0 . Dies impliziert, dass der erwartete Wert vonX, der im Mittel abgeschnitten ist (was das Negative einerhalben Normalverteilung ist),- √ ist2/π−−−√≈0.797885 X fache Standardabweichung unter dem ursprünglichen Mittelwert.−2/π−−−√
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Im Allgemeinen soll die Verteilungsfunktion F ( X ) haben .X F(X)
Wir haben für , P ( X ≤ x | c 1 ≤ X ≤ c 2 )x∈[c1,c2]
Sie können Sonderfälle erhalten, indem Sie zum Beispielc1=-∞ nehmen, wasF(c1)=0ergibt.
Mit bedingten cdfs erhalten Sie möglicherweise bedingte Dichten (z. B. für X ∼ N ( 0 , 1 ) ), die für bedingte Erwartungen verwendet werden können.f(x|X<0)=2ϕ(x) X∼N(0,1)
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