Was ist die notwendige Bedingung für einen unverzerrten Schätzer, um UMVUE zu sein?

Nach dem Satz von Rao-Blackwell , wenn Statistic eine ausreichende und vollständig ist und , dann eine gleichmäßig Umvue Schätzer (UMVUE).$T$$\theta$$E(T)=\theta$$T$

Ich frage mich, wie ich rechtfertigen kann, dass ein unvoreingenommener Schätzer ein UMVUE ist:

1. Wenn nicht ausreicht, kann es ein UMVUE sein?$T$
2. Wenn nicht vollständig ist, kann es ein UMVUE sein?$T$
3. Wenn nicht ausreicht oder vollständig ist, kann es ein UMVUE sein?$T$

Zur einheitlich minimalen Varianz Unvoreingenommene Schätzung, wenn keine vollständige ausreichende Statistik vorhanden ist von L. Bondesson gibt einige Beispiele für UMVUEs, die keine vollständige ausreichende Statistik sind, einschließlich der folgenden:

Sei unabhängige Beobachtungen einer Zufallsvariablen , wobei und unbekannt sind und mit dem bekannten Formparameter und dem bekannten Skalenparameter gammaverteilt ist . Dann ist der UMVUE von . Wenn jedoch ist, gibt es keine vollständige ausreichende Statistik für . X = μ + σ Y μ σ Y k θ ˉ X E ( X ) = μ + k θ σ k ≠ 1 ( μ , σ $X_1, \ldots, X_n$$X = \mu + \sigma Y$$\mu$$\sigma$$Y$$k$$\theta$$\bar{X}$$E(X) = \mu + k\theta\sigma$$k \neq 1$$(\mu, \sigma)$

Lassen Sie uns zeigen, dass es einen UMVUE geben kann, der keine ausreichende Statistik darstellt.

Erstens, wenn der Schätzer für alle Abtastwerte den Wert annimmt , ist eindeutig ein UMVUE von , wobei letzterer als (konstante) Funktion von . Andererseits ist dieser Schätzer im Allgemeinen eindeutig nicht ausreichend.0 T 0 θ $T$$0$$T$$0$$\theta$$T$

Es ist etwas schwieriger, einen UMVUE des "gesamten" unbekannten Parameters (anstelle eines UMVUE einer Funktion davon), so dass für nicht ausreicht . Angenommen, die "Daten" werden nur durch ein normales rv , wobei unbekannt ist. Es ist klar, dass für ausreichend und vollständig ist . Sei wenn und wenn , und sei ; wie üblich bezeichnen wir mit undθ Y θ X ∼ N ( τ , 1 ) τ ∈ R X $Y$$\theta$$Y$$\theta$$X\sim N(\tau,1)$$\tau\in\mathbb{R}$$X$$\tau$X ≥ 0 Y = 0 X < 0 θ : = E τ Y = P τ ( X ≥ 0 ) = Φ ( τ ) Φ φ N ( 0 , 1 ) Y θ = Φ $Y=1$$X\ge0$$Y=0$$X<0$
$\theta:=\mathsf{E}_\tau Y=\mathsf{P}_\tau(X\ge0)=\Phi(\tau)$$\Phi$$\varphi$jeweils das cdf und pdf von . So ist der Schätzer unverzerrt für und ist eine Funktion des gesamten erschöpfende Statistik . Daher ist ein UMVUE von .$N(0,1)$
$Y$X Y θ = Φ ( τ $\theta=\Phi(\tau)$$X$$Y$$\theta=\Phi(\tau)$

Andererseits ist die Funktion stetig und nimmt in streng von auf . Die Entsprechung ist also eine Bijektion. Das heißt, wir können das Problem von bis eins zu eins neu parametrisieren . Somit ist ein UMVUE von , nicht nur für den "alten" Parameter , sondern auch für den "neuen" Parameter . Jedoch für nicht ausreichend und damit nicht ausreichend fürR 0 1 R ∋ τ = Φ - 1 ( θ ) ↔ θ = Φ ( τ $\Phi$$\mathbb{R}$$0$$1$τ θ Y θ τ θ ∈ ( 0 , 1 ) Y τ θ P τ ( X < - 1 | Y = 0 ) = P τ ( X < $\mathbb{R}\ni\tau=\Phi^{-1}(\theta)\leftrightarrow\theta=\Phi(\tau)\in(0,1)$$\tau$$\theta$$Y$$\theta$$\tau$$\theta\in(0,1)$$Y$$\tau$$\theta$ . In der Tat ist als ; hier haben wir die bekannte asymptotische Äquivalenz als , die sich aus der l'Hospital-Regel ergibt. Also von und damit von , was zeigt, dass für nicht ausreicht (währendτ

$$\begin{multline*} \mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)=\mathsf{P}_\tau(X<-1|X<0)=\frac{\mathsf{P}_\tau(X<-1)}{\mathsf{P}_\tau(X<0)} \\ =\frac{\Phi(-\tau-1)}{\Phi(-\tau)} \sim\frac{\varphi(-\tau-1)/(\tau+1)}{\varphi(-\tau)/\tau}\sim\frac{\varphi(-\tau-1)}{\varphi(-\tau)}=e^{-\tau-1/2} \end{multline*}$$ & Phi; ( - τ ) ~ φ ( - τ ) / τ τ → ∞ P τ ( X < - $\tau\to\infty$$\Phi(-\tau)\sim\varphi(-\tau)/\tau$$\tau\to\infty$τ θ Y θ Y $\mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)$$\tau$$\theta$$Y$$\theta$$Y$ ist ein UMVUE für ).$\theta$