Wirklich ratlos auf diesen. Ich hätte wirklich gerne ein Beispiel oder eine Situation, in der ein Schätzer B sowohl konsistent als auch voreingenommen wäre.
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Jimmy Wiggles
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Antworten:
Das einfachste Beispiel, das ich mir vorstellen kann, ist die Stichprobenvarianz, die für die meisten von uns intuitiv ist, nämlich die Summe der quadratischen Abweichungen geteilt durchn anstelle von n−1 :
Es ist leicht zu zeigen, dassE(S2n)=n−1nσ2 und somit ist der Schätzer vorgespannt. Unter der Annahme einer endlichen Varianzσ2 ist zu beachten, dass die Vorspannung alsn→∞auf Null gehtn→∞ weil
Es kann auch gezeigt werden, dass die Varianz des Schätzers gegen Null tendiert und der Schätzer daher im mittleren Quadrat konvergiert . Daher ist es auch in der Wahrscheinlichkeit konvergent .
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Ein einfaches Beispiel wäre das Schätzen des Parameters bei n iid Beobachtungen y i ∼ Uniform [ 0θ>0 n yi∼Uniform[0,θ] .
Lassen θ n = max { y 1 , ... , y n } . Für jedes endliche n haben wir E [ θ n ] < θ (der Schätzer ist also vorgespannt), aber in der Grenze ist er mit der Wahrscheinlichkeit eins gleich θ (also konsistent).θ^n=max{y1,…,yn} n E[θn]<θ θ
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Betrachten Sie einen unverzerrten und konsistenten Schätzer und eine gegen 1 konvergierende Folge α n ( α n muss nicht zufällig sein) und bilden Sie α n T n . Es ist voreingenommen, aber konsistent, da α n gegen 1 konvergiert.Tn αn αn αnTn αn
Aus Wikipedia:
Ein Schätzer des Parameters θ gilt als konsistent, wenn er mit der Wahrscheinlichkeit gegen den wahren Wert des Parameters konvergiert : plim n → ∞Tn θ
Denken Sie nun daran, dass die Verzerrung eines Schätzers wie folgt definiert ist:
The bias is indeed non zero, and the convergence in probability remains true.
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In a time series setting with a lagged dependent variable included as a regressor, the OLS estimator will be consistent but biased. The reason for this is that in order to show unbiasedness of the OLS estimator we need strict exogeneity,E[εt|x1,x2,,…,xT] , i.e. that the error term, εt , in period t is uncorrelated with all the regressors in all time periods. However, in order to show consistency of the OLS estimator we only need contemporanous exogeneity, E[εt|xt] , i.e. that the error term, εt , in period t is uncorrelated with the regressors, xt in period t . Consider the AR(1) model: yt=ρyt−1+εt,εt∼N(0,σ2ε)
with xt=yt−1 from now on.
First I show that strict exogeneity does not hold in a model with a lagged dependent variable included as a regressor. Let's look at the correlation betweenεt and xt+1=yt
If we assume sequential exogeneity,E[εt∣y1,y2,……,yt−1]=0 , i.e. that the error term, εt , in period t is uncorrelated with all the regressors in previous time periods and the current then the first term above, ρE(εtyt−1) , will dissapear. What is clear from above is that unless we have strict exogeneity the expectation E[εtxt+1]=E[εtyt]≠0 . However, it should be clear that contemporaneous exogeneity, E[εt|xt] , does hold.
Now let's look at the bias of the OLS estimator when estimating the AR(1) model specified above. The OLS estimator ofρ , ρ^ is given as:
Then take conditional expectation on all previous, contemporaneous and future values,E[εt|y1,y2,,…,yT−1] , of Eq.(2) :
However, we know fromEq.(1) that E[εtyt]=E(ε2t) such that [εt|y1,y2,,…,yT−1]≠0 meaning that 1T∑Tt=1[εt∣∣y1,y2,,…,yT−1]yt−11T∑Tt=1y2t≠0 and hence E[ρ^|y1,y2,,…,yT−1]≠ρ but is biased: E[ρ^|y1,y2,,…,yT−1]=ρ+1T∑Tt=1[εt∣∣y1,y2,,…,yT−1]yt−11T∑Tt=1y2t=ρ+1T∑Tt=1E(ε2t)yt−11T∑Tt=1y2t= ρ+1T∑Tt=1σ2εyt−11T∑Tt=1y2t .
All I assume to show consistency of the OLS estimator in the AR(1) model is contemporanous exogeneity,E[εt|xt]=E[εt|yt−1]=0 which leads to the moment condition, E[εtxt]=0 with xt=yt−1 . As before, we have that the OLS estimator of ρ , ρ^ is given as:
Now assume thatplim1T∑Tt=1y2t=σ2y and σ2y is positive and finite, 0<σ2y<∞ .
Then, asT→∞ and as long as a law of large numbers (LLN) applies we have that plim1T∑Tt=1εtyt−1=E[εtyt−1]=0 . Using this result we have:
Thereby it has been shown that the OLS estimator ofp , ρ^ in the AR(1) model is biased but consistent. Note that this result holds for all regressions where the lagged dependent variable is included as a regressor.
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