Zeigen Sie, dass eine Skalenmischung von Normalen ein Potenzexponent ist

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Ich versuche zu zeigen, dass eine Skalenmischung von Normalen eine Laplace-Verteilung ergibt. Ich bin an dem Punkt angelangt, an dem ich sollte gleich einem Laplace sein. Mir ist unklar, wie ich das Integral lösen soll.N.(0,τ)×Gein(τ;;1,λ22)dτ

Alternativ habe ich eine Ableitung des Umfangs der Mischung Normale gesehen als eine Leistung exponentiell hier , mit bestimmten Parameterwerten die Laplace ergeben. Um ehrlich zu sein, ist es jedoch schwer zu folgen. Kann jemand bitte helfen, diese Ableitung zu entschlüsseln oder einen Hinweis darauf zu geben, wie das Integral gelöst werden kann?

ilanman
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Ich habe das obige Integral (mit Gamma, nicht inversem Gamma) in dieser Präsentation gefunden: newton.ac.uk/files/seminar/20061214161517004-150400.pdf (Seite 6) Formulieren sie das Problem falsch?
Ilanman
Ok toll. Die Berechnung dieses Integrals entgeht mir jedoch immer noch (es ist schon eine Weile her, seit ich etwas integriert habe ...)
ilanman

Antworten:

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Die marginale Verteilung von β verknüpft mit

β|τN(0,τ)τE(λ2/2)
[mit der Konvention, dass τist die Varianz] hat Dichte
t(β)=0τ1/2φ(β/τ)λ22exp{λ2τ/2}dτ=λ2eλ|β|22π0τ1/2exp{12(|β|τλτ)2}dτ
[bei dem die λ|β|erscheint durch Erstellen eines perfekten Quadrats im Exponential] . Dies deutet auf die Änderung der Variablen hinν=τ und führt zu
t(β)=λ2eλ|β|22π0exp{12(|β|νλν)2}dν
[schon seit τ1/2dτ=2dν] . Dies legt ferner die Änderung der Variablen nahe
ζ=|β|νλν
mit seiner Umkehrung
ν={ζ+ζ2+4λ|β|}}/.2λ
[erhalten durch Lösen einer Polynomgleichung zweiten Grades] und der Jacobi
dνdζ={- -1+ζζ2+4λ|β|}}/.2λ
das ist immer negativ. Daher
t(β)=λ2e- -λ|β|4λ2π- -exp{- -ζ22}}{1- -ζζ2+4λ|β|}}dζ=λe- -λ|β|2- -{1- -ζζ2+4λ|β|}}φ(ζ)dζ=λe- -λ|β|2{1- -- -ζφ(ζ)ζ2+4λ|β|dζ}}=λe- -λ|β|2
[da der Integrand eine ungerade Funktion von ist ζim letzten Integral] . Dies legt [ohne komplexe Berechnung] fest, dass die Randverteilung vonβist in der Tat eine Laplace- oder Doppelexponentialverteilung .
Xi'an
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Ich habe die direkte Integration in diesem Fall immer als kompliziertes Integral empfunden. Der MGF-Ansatz (Moment Generating Function) funktioniert ebenfalls.

Der MGF: β|τN.(0,τ) und dann

M.β|τ(t)=eτt22. Nun zum MGF von β Nehmen Sie die Erwartung in Bezug auf τ.

E.(M.β|τ(t))=0eτt22λ22e- -τλ22dτ=0λ22e- -τ(- -t22+λ22)dτ=λ2/.2λ2/.2- -t2/.2=11- -t2λ2,
Jetzt können Sie diese letzte Funktion als MGF einer Laplace-Verteilung (doppelte Exponentialverteilung) erkennen.
Lucas Roberts
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