Zeigen Sie, dass eine Skalenmischung von Normalen ein Potenzexponent ist

Ich versuche zu zeigen, dass eine Skalenmischung von Normalen eine Laplace-Verteilung ergibt. Ich bin an dem Punkt angelangt, an dem ich sollte gleich einem Laplace sein. Mir ist unklar, wie ich das Integral lösen soll. $\int N(0,\tau)\times Ga(\tau\:;\:1,\frac{\lambda^{2}}{2}) \:d\tau$

Alternativ habe ich eine Ableitung des Umfangs der Mischung Normale gesehen als eine Leistung exponentiell hier , mit bestimmten Parameterwerten die Laplace ergeben. Um ehrlich zu sein, ist es jedoch schwer zu folgen. Kann jemand bitte helfen, diese Ableitung zu entschlüsseln oder einen Hinweis darauf zu geben, wie das Integral gelöst werden kann?

self-study mixture gaussian-mixture laplace-distribution ilanman
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Ich habe das obige Integral (mit Gamma, nicht inversem Gamma) in dieser Präsentation gefunden: newton.ac.uk/files/seminar/20061214161517004-150400.pdf (Seite 6) Formulieren sie das Problem falsch?

Ilanman

Ok toll. Die Berechnung dieses Integrals entgeht mir jedoch immer noch (es ist schon eine Weile her, seit ich etwas integriert habe ...)

ilanman

Antworten:

Die marginale Verteilung von $\beta$ verknüpft mit

β | τ \sim N (0, τ) τ \sim E (λ^{2} / 2)

$\beta|\tau\sim\mathcal{N}(0,\tau)\quad\tau\sim\mathcal{E}(\lambda^2/2)$ [mit der Konvention, dass $\tau$ ist die Varianz] hat Dichte

\begin{aligned} t (β) & = \int_{0}^{\infty} τ^{- 1 / 2} φ (β / \sqrt{τ}) \frac{λ^{2}}{2} \exp {- λ^{2} τ / 2} d τ \\ = \frac{λ^{2} e^{- λ | β |}}{2 \sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} τ^{- 1 / 2} \exp {- \frac{1}{2} {(\frac{| β |}{\sqrt{τ}} - λ \sqrt{τ})}^{2}} d τ \end{aligned}

$\begin{align*}\mathfrak{t}(\beta) &=\int_0^\infty \tau^{-1/2}\varphi(\beta/\sqrt{\tau})\frac{\lambda^2}{2}\exp\{-\lambda^2\tau/2\}\text{d}\tau\\ &=\frac{\lambda^2 e^{-\lambda|\beta|}}{2\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \tau^{-1/2}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{|\beta|}{\sqrt{\tau}}-\lambda\sqrt{\tau}\right)^2\right\}\text{d}\tau\\ \end{align*}$ [bei dem die $\lambda|\beta|$ erscheint durch Erstellen eines perfekten Quadrats im Exponential] . Dies deutet auf die Änderung der Variablen hin

ν = \sqrt{τ}

$\nu=\sqrt{\tau}$ und führt zu

t (β) = \frac{λ^{2} e^{- λ | β |}}{2 \sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} \exp {- \frac{1}{2} {(\frac{| β |}{ν} - λ ν)}^{2}} d ν

$\mathfrak{t}(\beta) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda|\beta|}}{2\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{|\beta|}{\nu}-\lambda\nu\right)^2\right\}\text{d}\nu$ [schon seit $\tau^{-1/2}\text{d}\tau=2\text{d}\nu$ ] . Dies legt ferner die Änderung der Variablen nahe

ζ = \frac{| β |}{ν} - λ ν

$\zeta=\frac{|\beta|}{\nu}-\lambda\nu$ mit seiner Umkehrung

ν = {- ζ + \sqrt{ζ^{2} + 4 λ | β |}}} /. 2 λ

$\nu=\left\{-\zeta+\sqrt{\zeta^2+4\lambda|\beta|} \right\}\big/2\lambda$ [erhalten durch Lösen einer Polynomgleichung zweiten Grades] und der Jacobi

\frac{d ν}{d ζ} = {- - 1 + \frac{ζ}{\sqrt{ζ^{2} + 4 λ | β |}}}} /. 2 λ

$\frac{\text{d}\nu}{\text{d}\zeta}=\left\{-1+\frac{\zeta}{\sqrt{\zeta^2+4\lambda|\beta|}} \right\}\big/2\lambda$ das ist immer negativ. Daher

\begin{aligned} t (β) & = \frac{λ^{2} e^{- - λ | β |}}{4 λ \sqrt{2 π}} \int_{- - \infty}^{\infty} \exp {- - \frac{ζ^{2}}{2}}} {1 - - \frac{ζ}{\sqrt{ζ^{2} + 4 λ | β |}}}} d ζ \\ = \frac{λ e^{- - λ | β |}}{2} \int_{- - \infty}^{\infty} {1 - - \frac{ζ}{\sqrt{ζ^{2} + 4 λ | β |}}}} φ (ζ) d ζ \\ = \frac{λ e^{- - λ | β |}}{2} {1 - - \int_{- - \infty}^{\infty} \frac{ζ φ (ζ)}{\sqrt{ζ^{2} + 4 λ | β |}} d ζ}} = \frac{λ e^{- - λ | β |}}{2} \end{aligned}

$\begin{align*}\mathfrak{t}(\beta)&=\frac{\lambda^2 e^{-\lambda|\beta|}}{4\lambda\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-\frac{\zeta^2}{2}\right\}\left\{1-\frac{\zeta}{\sqrt{\zeta^2+4\lambda|\beta|}} \right\}\text{d}\zeta\\ &=\frac{\lambda e^{-\lambda|\beta|}}{2}\int_{-\infty}^\infty \left\{1-\frac{\zeta}{\sqrt{\zeta^2+4\lambda|\beta|}} \right\}\varphi(\zeta)\text{d}\zeta\\ &=\frac{\lambda e^{-\lambda|\beta|}}{2}\left\{1-\int_{-\infty}^\infty\frac{\zeta\varphi(\zeta)}{\sqrt{\zeta^2+4\lambda|\beta|}}\text{d}\zeta\right\}=\frac{\lambda e^{-\lambda|\beta|}}{2}\end{align*}$ [da der Integrand eine ungerade Funktion von ist $\zeta$ im letzten Integral] . Dies legt [ohne komplexe Berechnung] fest, dass die Randverteilung von

β

$\beta$ ist in der Tat eine Laplace- oder Doppelexponentialverteilung .

Xi'an
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Ich habe die direkte Integration in diesem Fall immer als kompliziertes Integral empfunden. Der MGF-Ansatz (Moment Generating Function) funktioniert ebenfalls.

Der MGF: $\beta | \tau \sim N(0, \tau)$ und dann

$M_{\beta|\tau}(t)=e^{\frac{\tau t^2}{2}}.$ Nun zum MGF von $\beta$ Nehmen Sie die Erwartung in Bezug auf $\tau$ .

E. ({M.}_{β | τ} (t)) = \int_{0}^{\infty} e^{\frac{τ t^{2}}{2}} \frac{λ^{2}}{2} e^{- - τ \frac{λ^{2}}{2}} d τ = \int_{0}^{\infty} \frac{λ^{2}}{2} e^{- - τ (- - \frac{t^{2}}{2} + \frac{λ^{2}}{2})} d τ = \frac{λ^{2} /. 2}{λ^{2} /. 2 - - t^{2} /. 2} = \frac{1}{1 - - \frac{t^{2}}{λ^{2}}},

$\mathbb{E}(M_{\beta|\tau}(t)) = \int_0^\infty e^{\frac{\tau t^2}{2}} \frac{\lambda^2}{2}e^{-\tau \frac{\lambda^2}{2}}d\tau =\int_0^\infty \frac{\lambda^2}{2} e^{-\tau \left(-\frac{t^2}{2} +\frac{\lambda^2}{2}\right)} d\tau =\frac{\lambda^2/2}{\lambda^2/2 - t^2/2} =\frac{1}{1 - \frac{t^2}{\lambda^2}},$ Jetzt können Sie diese letzte Funktion als MGF einer Laplace-Verteilung (doppelte Exponentialverteilung) erkennen.

Lucas Roberts
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