Mit zwei Variablen definieren Sie ein Liniensegment in , wie Sie bereits betont haben. Aufgrund der Simplex-Einschränkung ist jedoch eine dieser beiden Variablen hinsichtlich der Angabe der Dichte redundant , da zwischen und eine Eins-zu-Eins-Beziehung besteht . Daher wird die Dichte über freien Variablen angegeben (dh in ).R.2x 2 K - 1 R.x1x2K.- 1R.
Dies wird tatsächlich in der ersten Zeile dieses Abschnitts des Wikipedia-Artikels hervorgehoben, wenn auch sehr subtil.
Daher wird Ihre Dichtefunktion:
D i r1 , 1( x1, 1 - x1) = Γ ( 2 )Γ ( 1 )2( x1)0( 1 - x1)0= 1
Deshalb,
∫10D i r1 , 1( x1, 1 - x1) dx1= 1
Antwort auf OP-Kommentar
Aufgrund der Simplex-Einschränkungen ist die Dirichlet-Dichte mit zwei Variablen in tatsächlich entartet , wie meine obige Konstruktion zeigt (es ist nur eine Variable erforderlich). Während es wahr ist, hat es eine Dichte von , aber es hat keine Dichte von auf dem Liniensegment, das mit . Was die obige Konstruktion zeigt , ist , dass die marginale Dichte einen Wert von . Ihre Verwirrung entsteht dadurch, dass Sie als freie Variable betrachten. In diesem Fall unterstützt das Dirichlet 11(1,0R.211( 0 , 1 ) 1 x 2 R 2( 1 , 0 )( 0 , 1 )1x2R.2hätte einen Bereich ungleich Null. Diese Intuition ist in Fällen wie dem bivariaten Gaußschen in Ordnung, in denen die beiden Variablen nicht perfekt korreliert sind, aber in diesem Fall nicht.
Wir können dies formal wie folgt ableiten:
Sei eine Zahl in , die den Abstand von zu entlang des Verbindungsliniensegments angibt . Somit identifiziert jeder Wert von ein eindeutiges Paar. Unter Verwendung dieser Notation läuft Ihre Annahme, dass die Dichte entlang dieser Linie auf Folgendes hinaus:[ 0 , √L.(1,0)[ 0 , 2- -√]]( 1 , 0 )L ( x 1 , x 2 ) 1( 0 , 1 )L.(x1,x2)1
P(L∈[a,b]⊂)=b−a
Wir können jedoch durch eine formale Behandlung der Gelenkdichte von zeigen, dass dies nicht der Fall ist :x1,x2
PL(L∈[a,b])=PX1,X2[(x1,x2)∈A[a,b]]
WobeiA[a,b]:={(u,v):u∈[1−b2√,1−a2√],v=1−u]
Berechnen wir nun :PL(L∈[a,b])
PL(L∈[a,b])=∫A[a,b]dPX1,X2=∫A[a,b]dPX1dPX2|X1=∫A[a,b]1dPX1=∫1−a2√1−b2√1du=
(1−a2–√)−(1−b2–√)=12–√(b−a)
Wo die dritte Gleichheit zustande kommt, weil für (dh es ist keine Dichte, sondern eine bei )X 2 = 1 - X 1 1 - X 1dPX2|X1=1X2=1−X11−X1
Wie Sie sehen können, haben wir die Normalisierungskonstante für die Dichte entlang des Liniensegments in wiederhergestellt . Tatsächlich ist diese (entartete) Gelenkdichte nur eine lineare Transformation eines der beiden Ränder (einer funktioniert). Dies führt dazu, dass der Bereich der Wahrscheinlichkeitsdichte von nach , daher muss die Dichte zum Kompensieren abnehmen. R21√12√R212–√