Wie kann man zeigen, dass ein Schätzer konsistent ist?

EDIT: Kleinere Fehler behoben.

Hier ist eine Möglichkeit, dies zu tun:

Ein Schätzer von (nennen wir ihn ) ist konsistent, wenn seine Wahrscheinlichkeit gegen konvergiert . Verwenden Sie Ihre Notation $\theta$ $T_n$ $\theta$

. $\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$

Wahrscheinlichkeitskonvergenz bedeutet mathematisch

für alle. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ $\epsilon>0$

Der einfachste Weg, Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit / Konsistenz zu zeigen, besteht darin, Chebyshevs Ungleichung aufzurufen, die besagt:

. $P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

Somit,

. $P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

Sie müssen also zeigen, dass als auf 0 geht . $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : Das oben Gesagte setzt voraus , dass der Schätzer zumindest asymptotisch unverzerrt ist. Wie G. Jay Kerns weist darauf hin, betrachten die Schätzfunktion (für die mittlere Abschätzen ). ist sowohl für finite vorbelastet und sich asymptotisch und als . Allerdings $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ ist kein konsistenter Schätzer für . $\mu$

EDIT 3 : Siehe die Punkte des Kardinals in den Kommentaren unten.

quelle

@ G.JayKerns Eine Unvoreingenommenheit ist hierfür nicht erforderlich. Betrachte

ist ein verzerrter Schätzer der Standardabweichung, Sie können jedoch das obige Argument verwenden, um zu zeigen, dass es konsistent ist.

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

Sieht gut aus (+1); und ich werde meine früheren Kommentare löschen.

@ G.JayKerns Ihre Kommentare waren eine notwendige Ergänzung. Wir müssen immer sicherstellen, dass wir uns der Annahmen bewusst sind, unter denen wir arbeiten.

@MikeWierzbicki: Ich denke, wir müssen sehr vorsichtig sein, insbesondere mit dem, was wir unter asymptotisch unvoreingenommen verstehen . Es gibt mindestens zwei verschiedene Konzepte, die diesen Namen häufig erhalten, und es ist wichtig, sie zu unterscheiden. Es ist zu beachten, dass es im Allgemeinen nicht wahr ist, dass ein konsistenter Schätzer in dem Sinne asymptotisch vorurteilsfrei ist, dass

selbst wenn der Mittelwert

für alle

. Viele Leute nennen die Konvergenz

Unparteilichkeit in der Grenze oder ungefähre Unparteilichkeit

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$ ... (Fortsetzung)

Kardinal

Offensichtlich ist , um einen konsistenter Schätzer in der Grenze vorgespannt zu sein, die Konvergenz in

muß scheitern , da

wobei

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

Kardinal

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