Wie kann man zeigen, dass ein Schätzer konsistent ist?

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Reicht es aus zu zeigen, dass MSE = 0 als n ? Ich habe in meinen Notizen auch etwas über Plim gelesen. Wie finde ich plim und benutze es, um zu zeigen, dass der Schätzer konsistent ist?

Die Geduld
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Antworten:

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EDIT: Kleinere Fehler behoben.

Hier ist eine Möglichkeit, dies zu tun:

Ein Schätzer von (nennen wir ihn T n ) ist konsistent, wenn seine Wahrscheinlichkeit gegen θ konvergiert . Verwenden Sie Ihre NotationθTnθ

.plimnTn=θ

Wahrscheinlichkeitskonvergenz bedeutet mathematisch

für alleϵ>0.limnP(|Tnθ|ϵ)=0ϵ>0

Der einfachste Weg, Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit / Konsistenz zu zeigen, besteht darin, Chebyshevs Ungleichung aufzurufen, die besagt:

.P((Tnθ)2ϵ2)E(Tnθ)2ϵ2

Somit,

.P(|Tnθ|ϵ)=P((Tnθ)2ϵ2)E(Tnθ)2ϵ2

Sie müssen also zeigen, dass als n auf 0 geht .E(Tn-θ)2n

EDIT 2 : Das oben Gesagte setzt voraus , dass der Schätzer zumindest asymptotisch unverzerrt ist. Wie G. Jay Kerns weist darauf hin, betrachten die Schätzfunktion (für die mittlere Abschätzen μ ). T n ist sowohl für finite vorbelastet n und sich asymptotisch und V eine R ( T n ) = V a r ( ˉ X n ) 0 als n . Allerdings T nTn=X¯n+3μTnnVeinr(Tn)=Veinr(X¯n)0nTnist kein konsistenter Schätzer für .μ

EDIT 3 : Siehe die Punkte des Kardinals in den Kommentaren unten.


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@ G.JayKerns Eine Unvoreingenommenheit ist hierfür nicht erforderlich. Betrachte . Snist ein verzerrter Schätzer der Standardabweichung, Sie können jedoch das obige Argument verwenden, um zu zeigen, dass es konsistent ist. Sn=1n1i=1n(XiXn¯)2Sn
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Sieht gut aus (+1); und ich werde meine früheren Kommentare löschen.
@ G.JayKerns Ihre Kommentare waren eine notwendige Ergänzung. Wir müssen immer sicherstellen, dass wir uns der Annahmen bewusst sind, unter denen wir arbeiten.
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@MikeWierzbicki: Ich denke, wir müssen sehr vorsichtig sein, insbesondere mit dem, was wir unter asymptotisch unvoreingenommen verstehen . Es gibt mindestens zwei verschiedene Konzepte, die diesen Namen häufig erhalten, und es ist wichtig, sie zu unterscheiden. Es ist zu beachten, dass es im Allgemeinen nicht wahr ist, dass ein konsistenter Schätzer in dem Sinne asymptotisch vorurteilsfrei ist, dass selbst wenn der Mittelwert θ n = E T n für alle n existiert . Viele Leute nennen die Konvergenz E T nθ Unparteilichkeit in der Grenze oder ungefähre UnparteilichkeitETnθθn=ETnnETnθ ... (Fortsetzung)
Kardinal
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Offensichtlich ist , um einen konsistenter Schätzer in der Grenze vorgespannt zu sein, die Konvergenz in muß scheitern , da E ( T n - θ ) 2 = V ein R ( T n ) + ( θ n - θ ) 2 wobei θ n = E T n . L2E(Tnθ)2=Var(Tn)+(θnθ)2θn=ETn
Kardinal