Wie berechnet man für Ordnungsstatistiken einer gleichmäßigen Verteilung?

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Ich versuche ein Problem für meine Diplomarbeit zu lösen und sehe nicht, wie ich es machen soll. Ich habe 4 Beobachtungen zufällig aus einer gleichmäßigen Verteilung genommen. Ich möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass . ist die i-te Ordnungsstatistik (ich nehme die Ordnungsstatistik, damit meine Beobachtungen vom kleinsten zum größten geordnet werden). Ich habe es für einen einfacheren Fall gelöst, aber hier bin ich verloren, wie es geht.(0,1)3X(1)X(2)+X(3)X(i)

Jede Hilfe wäre willkommen.

sev
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Schreiben Sie die Auftragsstatistik als , . Beginnen Sie mit der Feststellung, dass impliziert0 x 1x 2x 3x 41 x 1x 2(x1,x2,x3,x4)0x1x2x3x41x1x2

Pr[3x1x2+x3]=1Pr[3x1<x2+x3]=1Pr[x1min(x2,x2+x33)].

Dieses letzte Ereignis gliedert sich in zwei disjunkte Ereignisse, je nachdem, welches von und größer ist: ( x 2 + x 3 ) / 2x2(x2+x3)/2

Pr[x1min(x2,x2+x33)]=Pr[x2x32,x1x2]+Pr[x32x2x3,x1x2+x33].

Weil die gemeinsame Verteilung auf der Menge mit der Dichte ,4 ! d x 4 d x 3 d x 2 d x 10x1x2x3x414!dx4dx3dx2dx1

Pr[x2x32,x1x2]=4!01dx40x4dx30x3/2dx20x2dx1=14

und

Pr[x32x2x3,x1x2+x33]=4!01dx40x4dx3x3/2x3dx20(x2+x3)/2dx1=712.

(Jedes Integral ist einfach als iteriertes Integral auszuführen; es sind nur Polynomintegrationen beteiligt.)

Die gewünschte Wahrscheinlichkeit beträgt daher = .1 / 61(1/4+7/12)1/6

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Eine klügere Lösung (die die Arbeit vereinfacht) ergibt sich aus der Erkenntnis, dass wenn Exponentialverteilungen hat, , dann (Schreiben von ) , die skalierten Teilsummen 1 j n + 1 y 1 + y 2 + + y n + 1 = Y.yj1jn+1y1+y2++yn+1=Y 

xi=j=1iyj/Y,

Y n 31in , werden wie die einheitliche Auftragsstatistik verteilt. Da mit ziemlicher Sicherheit positiv ist, folgt daraus leicht, dass für jede ,Y n3

Pr[3x1x2+x3]=Pr[3y1Yy1+y2Y+y1+y2+y3Y]=Pr[3y1(y1+y2)+(y1+y2+y3)]=Pr[y12y2+y3]=0exp(y3)0exp(y2)2y2+y3exp(y1)dy1dy2dy3=0exp(y3)0exp(y2)[exp(2y2y3)]dy2dy3=0exp(2y3)dy30exp(3y2)dy2=1213=16.
whuber
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Vielen Dank für Ihre Hilfe! Ich war wegen dieses Problems in meiner Forschung blockiert. Nochmals vielen Dank!
7.
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+1 Der in der letzten Bearbeitung hinzugefügte Standpunkt wird besonders geschätzt
Dilip Sarwate