Beweisen / widerlegen Sie

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Beweisen / widerlegen Sie E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.


Bei einem gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,{Fn}nN,P) , lassen AF .

Angenommen,

tN s.t. E[1A|Ft]=1 a.s.
Folgt daraus, dass
E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s. s>t ?
Was ist mit s<t ?

Was ist, wenn stattdessen

tN s.t. E[1A|Ft]=0 a.s. ?
Oder was ist, wenn
E[1A|Ft]=p a.s. for some p(0,1) ?

Was ich versucht habe:


Wenn , dann E [ 1 A ] = 1 , was 1 A = 1 ist (fast sicher). In diesem Fall E [ 1 A | F s ] = 1 (fast sicher) für jedes s .E[1A|Ft]=1E[1A]=11A=1E[1A|Fs]=1s

Ebenso, wenn , dann E [ 1 A ] = 0 , was (fast sicher) 1 A = 0 entspricht . In diesem Fall E [ 1 A | F s ] = 0 (fast sicher) für jedes s .E[1A|Ft]=0E[1A]=01A=0E[1A|Fs]=0s

Wenn , für eine Konstante p ( 0 , 1 ) haben wir dannE[1A|Ft]=pp(0,1)

. Dies kann fehlschlagen, wenn s > t .E[1A|Fs]=E[E[1A|Ft]|Fs]=E[p|Fs]=ps>t

Alternativ für Fall:=p

Sei eine begrenzte F t -Messbare Zufallsvariable.FFt

E[1AF]=E[E[1AF|Ft]]=E[FE[1A|Ft]]

=E[pF]=pE[F]=E[1A]E[F]

was bedeutet, dass und F unabhängig sind. Mit anderen Worten sind σ ( A ) und F t unabhängig. Also sind σ ( A ) und F s auch unabhängig, wenn s < t und damit E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p . Dies kann fehlschlagen, wenn s > t .1AFσ(A)Ftσ(A)Fss<tE[1A|Fs]=E[1A]=ps>t

Ich denke , die Idee ist , dass eine Konstante beide unabhängig ist und F s meßbarFsFs .

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Antworten:

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Ihr Argument scheint gültig zu sein, aber Sie gehen zunächst davon aus, dass . Die Frage besagt jedoch, dass E [ 1 A | F t ] { 0 , 1 } , was ich als Zufallsvariable E [ 1 A | bezeichnen würde F t ] nimmt Werte in der Menge { 0 , 1 } an, dh E [ 1 A | F.E[1A|Ft]=1E[1A|Ft]{0,1}E[1A|Ft]{0,1} wobeiB F t ist . Die definierende Eigenschaft dieser bedingten Erwartung ist, dass all F 1 B d P =F 1 A d P für alleF F t ist . Insbesondere führtF=BzuP(B)=P(AB), woraus wir schließen können, dassBA.E[1A|Ft]=1BBFtF1BdP=F1AdPFFtF=BP(B)=P(AB)BA(außer möglicherweise auf einer Menge von Wahrscheinlichkeit Null). Wir wissen jedoch auch (wie in dem von Ihnen geschriebenen Argument), dass dh P ( A ) = P ( B ) , daher ist die einzig mögliche Schlussfolgerung, dass A = B ist (außer möglicherweise für einen Satz von Wahrscheinlichkeit Null).E[E[1A|Ft]]=E[1B]P(A)=P(B)A=B

s>tFtFsE[1A|Ft]=E[E[1A|Ft]|Fs]E[1A|Ft]=1AE[1A|Fs]=1As>t1As<tAFsE[1A|Fs]=1AAFsE[1A|Fs]A={ω2}F2F1E[1A|F0]=181ΩE[1A|F1]=121{ω1,ω2}E[1A|F2]=1{ω2}E[1A|F3]=1{ω2}

S. Catterall stellt Monica wieder her
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P(B)=P(AB)BAE[1A|Ft]=1A
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AF00
@ocramz und S. Catterall, fertig bearbeitet. Wie ist es pls? ^ - ^
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AωiAA0
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P(B)=P(AB)BABAcBP(AcB)=0BAP(A)=P(B)A=BFt