Ich spreche hier von Matrizen von Pearson-Korrelationen.
Ich habe oft gehört, dass alle Korrelationsmatrizen positiv semidefinit sein müssen. Mein Verständnis ist, dass positive bestimmte Matrizen Eigenwerte , während positive semidefinite Matrizen Eigenwerte ≥ 0 haben müssen . Dies lässt mich denken, dass meine Frage wie folgt umformuliert werden kann: "Können Korrelationsmatrizen einen Eigenwert = 0 haben ?"
Kann eine Korrelationsmatrix (generiert aus empirischen Daten ohne fehlende Daten) einen Eigenwert oder einen Eigenwert < 0 haben ? Was wäre, wenn es stattdessen eine Populationskorrelationsmatrix wäre?
Ich habe oben die Antwort auf diese Frage über Kovarianzmatrizen gelesen , die
Betrachten wir drei Variablen , Y und Z = X + Y . Ihre Kovarianzmatrix M ist nicht eindeutig positiv, da es einen Vektor z ( = ( 1 , 1 , - 1 ) ' ) gibt, für den z ' M z nicht positiv ist.
Wenn ich jedoch anstelle einer Kovarianzmatrix diese Berechnungen auf einer Korrelationsmatrix durchführe, wird als positiv ausgegeben. Daher denke ich, dass die Situation für Korrelations- und Kovarianzmatrizen möglicherweise anders ist.
Mein Grund für die Frage ist, dass ich beim Stackoverflow im Zusammenhang mit einer Frage, die ich dort gestellt habe, gefragt wurde.
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Antworten:
Korrelationsmatrizen müssen nicht eindeutig positiv sein.
Betrachten Sie eine skalare Zufallsvariable X mit einer Varianz ungleich Null. Dann ist die Korrelationsmatrix von X mit sich selbst die Matrix aller, die positiv halbdefinit, aber nicht positiv definit ist.
Berücksichtigen Sie für die Probenkorrelation die Probendaten für das Obige mit der ersten Beobachtung 1 und 1 und der zweiten Beobachtung 2 und 2. Dies führt dazu, dass die Probenkorrelation die Matrix aller ist, also nicht eindeutig positiv.
Eine Beispielkorrelationsmatrix kann, wenn sie in exakter Arithmetik berechnet wird (dh ohne Rundungsfehler), keine negativen Eigenwerte haben.
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