Warum kann ich mit Standardmathematik keine 1,5 Standardabweichungen berechnen?

Ich verstehe nicht, warum ich nicht einfach 1,5 Standardabweichungen hinzufügen kann, um die Antwort zu erhalten.

Wenn 1 Standardabweichung 10 kg und der Mittelwert 400 kg beträgt, sind 415 kg 1,5 Standardabweichungen.

Also habe ich es so berechnet: .3413 + ((.4772-.3413)/2) = 0.40925

Diese Gleichung nimmt die Hälfte der Differenz zwischen zwei Standardabweichungen und einer Standardabweichung und addiert sie dann zur ersten Standardabweichung.

Warum geht das nicht? Warum muss ich die bereitgestellte Tabelle verwenden?

Der Grund, warum wir nicht (linear) zwischen 0,3413 und 0,4772 interpolieren können, ist, dass das PDF der Normalverteilung nicht gleichmäßig ist (flach bei einem einzelnen Wert).

Betrachten Sie dieses einfachere Beispiel, in dem wir Geometrie verwenden können, um die Bereiche zu finden.

Die Gesamtfläche des Grundstücks beträgt 1(es ist ein diagonal geschnittenes Quadrat, wobei die beiden Teile zu einem Dreieck neu angeordnet sind). Mit können Base*Height/2wir feststellen, dass die Fläche der Region A 0.5und die Gesamtfläche der Regionen B und C ebenfalls ist 0.5.

Die Flächen von B und C sind jedoch nicht gleich. Der Bereich der Region C ist 0.5*0.5/2 = 0.125, und daher die Fläche der Region B ist 0.375. Obwohl die Bereiche B und C entlang der x-Achse gleich breit sind, haben sie unterschiedliche Bereiche, da die Höhe nicht konstant ist.

Die Normalverteilung, mit der Sie sich in Ihrer Übung befassen, ist ähnlich, jedoch mit einer komplizierteren Funktion für die Höhe anstelle eines einfachen Dreiecks. Aus diesem Grund kann der Bereich zwischen zwei Werten nicht so einfach gelöst werden - daher die Verwendung von Z-Scores und einer Tabelle zum Auffinden von Wahrscheinlichkeiten.

Nur um eine andere Illustration zum gleichen Thema zu liefern ...

Bei Ihrer anfänglichen Berechnung würden Sie die Normalkurve als gleichmäßige Verteilung behandeln. In diesem Fall wäre Ihr anfänglicher Ansatz die korrekte mathematische Berechnung für das doppelt schraffierte Rechteck im folgenden Diagramm (mit unterschiedlichen tatsächlichen Werten), einfach weil Sie es wären in der Lage, die Fläche als einfache lineare Abhängigkeit des Achsenabstands auszudrücken :$x$

$A_{1.5\,SD} =\large\frac{A_{2\,SD} - A_{1\,SD}}{2} = \small height * \large\frac{X_{2\,SD} - X_{1\,SD}}{2}$

Sie möchten jedoch die diagonal schraffierte Fläche unter der Kurve der Gaußschen Verteilung berechnen, die, wie bereits erwähnt, keine lineare Beziehung zum Abstand entlang der Achse beibehält, selbst wenn die Verteilung dreieckig wäre:$x$

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Die Formel für die Gaußsche Verteilung lautet:

Wobei Sigma = Standardabweichung und Mu = Mittelwert

(aus Wikipedia gestohlen)

Wenn Sie nach dem Bereich fragen, integrieren Sie diese Funktion über den angegebenen Bereich. Dieses Integral hat keine "geschlossene Form" -Lösung: Es gibt keine Möglichkeit, einen Ausdruck mit "normalen" mathematischen Funktionen wie Fakultät, Multiplikation, Exponentiation, Wurzeln usw. zu finden, der diesem Integral entspricht.

Es ist wie bei Logarithmen oder trigonometrischen Funktionen: Sie können keine geschlossene Formgleichung für sie mit anderen algebraischen Funktionen erstellen (Sie können unendliche Reihen verwenden, aber das ist nicht "geschlossen"). Sie verwenden also eine Tabelle (wenn Sie sich retro fühlen, oder einen Taschenrechner, der einfach eine Tabelle hinter den Kulissen verwendet, die in den Prozessor eingebettet ist, als Ausgangspunkt), wenn Sie sie tatsächlich berechnen müssen.

Tatsächlich ist die Parallele zu Logarithmen ziemlich passend: Man kann einen Logarithmus auch durch ein Integral definieren, nämlich ln (x) = Integral von (1 / x) von 0 bis x.

Geometrisch .4772 - .3413stellt die Fläche unter dem Diagramm zwischen 1 Standardabweichung und 2 Standardabweichungen dar. Wenn Sie diesen Bereich auf halber Strecke horizontal teilen, ist der Teil links von der Teilung der Bereich zwischen 1 und 1,5 Standardabweichungen, wie Sie möchten. Bis jetzt gut.

Wenn Sie jedoch nehmen, erhalten (.4772 - .3413) / 2Sie die Hälfte der Fläche , aber nicht unbedingt das, wonach Sie gesucht haben. Dies ist jedoch die Fläche, die horizontal auf halber Strecke liegt. Bei diesem Diagramm ist der linke Teil der Teilung nicht die Hälfte der Fläche - die Linie fällt nach unten ab (von links oben nach rechts unten), sodass im linken Teil mehr Platz ist als im rechten Teil. Wenn dieses Diagramm eine gerade horizontale Linie wäre, wäre der Bereich, den Sie teilen, ein Rechteck, und die Hälfte der Fläche wäre wirklich halb so breit.