Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum. Vermutung:
Angenommen, wir haben Ereignisse st , oder . Es gibt eine unabhängige Folge von Ereignissen st
Ist das wahr?
Ich denke, es gibt eine Funktion st sind unabhängig, so dass wir wählen können . Ist das wahr? Warum Warum nicht? Wenn nicht, wie kann ich die obige Vermutung sonst beweisen oder widerlegen? Wenn es wahr ist, kann es meiner Meinung nach bewiesen werden, indem der Beweis des Kolmogorov 0-1-Gesetzes (für Ereignisse) geändert wird.
Vielleicht ist eine dieser Teilfolgen von Mengen unabhängig:
Ich denke wir haben das
wobei und i ∈ { 0 , 1 , 2 , . . . , m - 1 } .
Es scheint, dass wir ein solches brauchen , wenn es existiert, um die folgende Bedingung zu erfüllen:
was ich denke ist wahr, wenn (und nur wenn?) .
Andere mögliche Kandidaten für : (Angenommen, die Variablen sind st ist erfüllt. Falls erforderlich, ( ∗ ∗ ) oder f ( n ) ≥ n .)
Unter der Annahme, dass die Vermutung wahr ist , ist es vermutlich nicht notwendig, zu finden , das für alle möglichen Folgen von Ereignissen A 1 , A 2 , . . . weil ein solches f ( n ) möglicherweise nicht einmal existiert.
Um die Vermutung zu widerlegen : Ich denke, wir müssen zeigen, dass eine solche Sequenz , die unabhängig ist, impliziert, dass B n Schwanz niemals gleich A n Schwanz ist, da B n Schwanz nach dem Kolmogorov 0-1 Gesetz (für Ereignisse) P - trivial sein wird.
Etwas , das helfen könnte: können wir zeigen , dass oder 1 und ∀ n ∈ N , A f ( n ) , A f ( n + 1 ) , . .ist nicht unabhängig, aber ich bin nicht ganz sicher, ob die Vermutung widerlegt ist, weil wir einige B ns konstruieren könnten, die aussehen wie:
Natürlich nicht zu sagen, dass eines dieser τ A n = τ B n erfüllt, aber dass B n nicht in der Form A f ( n ) vorliegen muss .
Borel-Cantelli:
Wenn . Daher ist B m = lim sup A m n unabhängig.
Wenn , dann vielleicht diese Erweiterung von Borel-Cantelli ? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich es verstehe oder wie es hilfreich wäre. Ich glaube nicht, dass wir etwas schließen können, wenn wir P ( lim sup A n ) haben .
Dann gibt es den Fall von aber die früheren Bedingungen sind nicht erfüllt.
Antworten:
Wenn Sie Ereignisse , die auf interessante Weise unabhängig sind (nicht einfach, weil P ( B n ) = 0 oder P ( B n ) = 1 ), dann ist die Vermutung falsch.Bn P(Bn)=0 P(Bn)=1
Hier ist ein pedantisches Beispiel. Angenommen, ist ein geeignet reicher Wahrscheinlichkeitsraum.(Ω,F,P)
Lassen sein P - Null, dh P ( A ) = 0 . Nehmen Sie A i = A , so dass die Schwanz- σ- Algebra G = { ∅ , A , A c , Ω } ist .A∈F P P(A)=0 Ai=A σ G={∅,A,Ac,Ω}
Beachten Sie, dass insbesondere endlich ist.G
Nehmen wir nun an, dass eine unabhängige Folge von Ereignissen ist, bei denen P ( B n ) von 0 und 1 entfernt ist . Dann wird die Schwanz- σ- Algebra H nicht zählbar erzeugt. (Siehe z. B. Übung 1.1.18 http://math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , in der ein Argument wie oben beschrieben verwendet wird. Jede zählbar erzeugte P- triviale σ- Algebra hat ein Atom der Masse 1 , aber H hat kein solches Atom).B1,B2,… P(Bn) 0 1 σ H P σ 1 H
Also, ist endlich , aber H ist nicht einmal abzählbar erzeugt.G H
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