Konfidenzintervall des dritten Moments der Normalverteilung

Wie berechnet man das genaue Konfidenzintervall für den dritten Moment der Normalverteilung ?$N(a, \sigma^2)$

Um ein Konfidenzintervall für diese Größe zu finden, müssen Sie eine zentrale Größe bilden, die das dritte Rohmoment als einzigen unbekannten Parameter verwendet. Es ist möglicherweise nicht möglich, dies genau zu tun, aber Sie können normalerweise etwas erhalten, das eine ungefähr zentrale Größe ist, die verwendet werden kann, um ein ungefähres Konfidenzintervall zu bilden. Dazu finden wir zuerst die Form des dritten rohen Moments, das geschätzt wird, erstellen dann einen Stichprobenschätzer für diesen Moment und versuchen dann, daraus eine quasi-zentrale Größe und das daraus resultierende Konfidenzintervall zu erstellen.

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Was ist der dritte rohe Moment einer Normalverteilung? Nehmen Sie $X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)$ als beliebige normale Zufallsvariable und definieren Sie $Y = X-\mu \sim \text{N}(0, \sigma^2)$ . Der dritte rohe Moment von $X$ ist:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mu_3 \equiv \mathbb{E}(X^3) &= \mathbb{E}((\mu + Y)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(Y^3 + 3 \mu Y^2 + 3 \mu^2 Y + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \sigma^2 + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= 3 \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Dies ist der Parameter, den Sie in Ihrer Analyse schätzen möchten.

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Unvoreingenommener Schätzer des dritten Rohmoments: Normalerweise würden wir den Mittelwertparameter mit dem Stichprobenmittelwert und den Varianzparameter mit der Stichprobenvarianz schätzen, aber in diesem Fall möchten wir eine Funktion dieser Dinge schätzen, und eine Substitution dieser Schätzer ist wahrscheinlich zu einem voreingenommenen Schätzer führen. Wir werden zunächst versuchen, einen unvoreingenommenen Schätzer für den dritten rohen Moment zu finden. Dazu stellen wir zunächst Folgendes fest:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}((\mu + \bar{Y}_n)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{Y}_n^3 + 3 \mu \bar{Y}_n^2 + 3 \mu^2 \bar{Y}_n + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \frac{\sigma^2}{n} + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$\mathbb{E}(\bar{X}_n S_n^2) = \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(S_n^2) = \mu \sigma^2$

$$\hat{\mu}_3 = \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3.$$

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Varianz des Schätzers: Wir wissen, dass der erwartete Wert dieses Schätzers gleich dem dritten rohen Moment der Verteilung ist (um dies zu sehen, ersetzen Sie einfach die obigen Ausdrücke des erwarteten Wertes), jedoch ist es mühsam, die Varianz des Schätzers abzuleiten. Als vorläufige Ergebnisse haben wir:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) &= \mathbb{V}(\bar{X}_n) \mathbb{V}(S^2) \\[6pt] &= \frac{1}{n} \sigma^2 \cdot \frac{2}{n-1} \sigma^4 \\[6pt] &= \frac{2}{n(n-1)} \sigma^6, \\[12pt] \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^6) - \mathbb{E}(\bar{X}_n^3)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{9}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) \\[6pt] &= \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2, \\[12pt] \mathbb{C}(\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4 S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n S^2) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4) \mathbb{E}(S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \mathbb{E}(S^2) \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \mu \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \Big( \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^2} \sigma^6 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^4. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Dies gibt uns die Varianz:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\hat{\mu}_3) &= \mathbb{V} \Big( \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3 \Big) \\[6pt] &= \frac{9(n-1)^2}{n^2} \cdot \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) + \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) + \frac{3(n-1)}{n} \cdot \mathbb{C} (\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \frac{18(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2 \Big) + \Big( \frac{9(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \frac{9(n-1)}{n^2} \mu^2 \sigma^4 \Big) \\[6pt] &= \frac{27n-12}{n^3} \cdot \sigma^6 + \frac{9n+27}{n^2} \cdot \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \cdot \mu^4 \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^3} \Big[ (9n-4) \sigma^6 + (3n^2+9n) \mu^2 \sigma^4 + 3n^2 \mu^4 \sigma^2 \Big]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

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Bildung eines Konfidenzintervalls: Aus den obigen Ergebnissen können wir einen unverzerrten Schätzer für das dritte Rohmoment mit bekannter Varianz erhalten. Die genaue Verteilung dieses Schätzers ist kompliziert und seine Dichte kann nicht in geschlossener Form ausgedrückt werden. Mit diesem Schätzer ist es möglich, eine studentisierte Größe zu bilden, ihre Verteilung zu approximieren und sie als quasi-zentrale Größe zu behandeln, um ein ungefähres Konfidenzintervall zu erhalten. Dies wäre jedoch kein genaues Konfidenzintervall.

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