Wie ist die Verteilung der Summe der nicht-iid-Gaußschen Variablen?

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Wenn verteilt N ( μ X , σ 2 X ) , Y verteilt N ( μ Y , σ 2 Y ) und Z = X + Y , ich weiß , dass Z verteilt ist N ( μ X + μ Y , σ 2 X + σ 2 Y ) wenn X und Y unabhängig sind.XN(μX,σX2)YN(μY,σY2)Z=X+YZN(μX+μY,σX2+σY2)

Aber was würde passieren, wenn X und Y nicht unabhängig wären, dh (X,Y)N((μXμY),(σX2σX,YσX,YσY2))

Würde dies die Verteilung der Summe ?Z

JCWong
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Nur möchte darauf hinweisen , dass es gibt alle Arten von gemeinsamen Verteilungen für andere als bivariate normal , dass nach wie vor haben X und Y geringfügig normal. Und diese Unterscheidung würde einen großen Unterschied bei den Antworten bewirken. (X,Y) XY
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@ G.JayKerns Ich bin damit einverstanden, dass, wenn und Y normal, aber nicht unbedingt gemeinsam normal sind, X + Y eine andere als die normale Verteilung haben kann. Aber die Aussage des OP, dass " Z verteilt ist N ( μ x + μ y , σ 2 x + σ 2 y ), wenn X und Y unabhängig sind." ist absolut richtig. Wenn X und YXYX+YZN(μx+μy,σx2+σy2)XYXYsind geringfügig normal (wie der erste Teil des Satzes besagt) und unabhängig (gemäß der Annahme im zweiten Teil des Satzes), dann sind sie auch gemeinsam normal. In der Frage des OP wird die Gelenknormalität explizit vorausgesetzt und somit ist jede lineare Kombination von und Y normal. XY
Dilip Sarwate
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@Dilip, lassen Sie mich klarstellen, dass an der Frage nichts falsch ist und an Ihrer Antwort nichts falsch ist (+1) (oder an der Wahrscheinlichkeit (+1)). Ich habe lediglich darauf hingewiesen, dass wenn und Y abhängig sind, es nicht notwendig ist, dass sie gemeinsam normal sind, und es war nicht klar, dass das OP diese Möglichkeit in Betracht gezogen hatte. Außerdem befürchte ich (obwohl ich nicht viel Zeit damit verbracht habe, nachzudenken), dass die Frage ohne einige andere Annahmen (wie die Normalität der Gelenke) möglicherweise sogar unbeantwortet bleibt. XY
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Wie @ G.JayKerns erwähnt, können wir natürlich alle möglichen interessanten Verhaltensweisen erzielen, wenn wir marginal, aber nicht gemeinsam verteilte Normalen berücksichtigen. Hier ist ein einfaches Beispiel: Es sei sein Standard Normal- und ε = ± 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 jeweils unabhängig X . Lassen Y = ε X . Dann Y ist ebenfalls Standard normal, aber Z = X + Y ist genau gleich Null mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 und ist gleich 2 X mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Xε=±1XY=εXYZ=X+Y2X
Kardinal
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Wir können eine ganze Reihe verschiedener Verhaltensweisen erhalten, wenn wir die bivariate Copula betrachten, die mit über den Satz von Sklar assoziiert ist . Wenn wir die Gaußsche Kopula verwenden, dann erhalten wir ( X , Y ) gemeinsam normal, und so ist Z = X + Y normalverteilt. Handelt es sich bei der Copula nicht um die Gaußsche Copula, so sind X und Y als Normalen immer noch marginal verteilt, aber nicht gemeinsam normal, so dass die Summe im Allgemeinen nicht normal verteilt wird. (X,Y)(X,Y)Z=X+YXY
Kardinal

Antworten:

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Siehe meinen Kommentar zu Wahrscheinlichkeitslogics Antwort auf diese Frage . Hier wobeiσX,YdieKovarianzvonXundY ist. Niemand schreibt die nicht diagonalen Einträge in die Kovarianzmatrix mitσ 2 x y, wie Sie es getan haben. Die nicht diagonalen Einträge sind Kovarianzen, die negativ sein können.

X+YN(μX+μY,σX2+σY2+2σX,Y)aX+bYN(aμX+bμY,a2σX2+b2σY2+2abσX,Y)
σX,YXYσxy2
Dilip Sarwate
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@Kodiologist Danke! Ich bin überrascht, dass die Tippfehler mehr als 4 Jahre lang unbemerkt blieben.
Dilip Sarwate
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dXNd(μ,Σ)μ=(μ1,,μd)TΣjk=cov(Xj,Xk)j,k=1,,d

φX(t)=E[exp(itTX)]=exp(itTμ12tTΣt)
=exp(ij=1dtjμj12j=1dk=1dtjtkΣjk)

YN1(μY,σY2)

φY(t)=exp(itμY12t2σY2)

Z=aTX=j=1dajXjd=2a1=a2=1ZX

φZ(t)=E[exp(itZ)]=E[exp(itaTX)]=φX(ta)
=exp(itj=1dajμj12t2j=1dk=1dajakΣjk)

φY(t)μYμZ=j=1dajμjσY2σZ2=j=1dk=1dajakΣjkZYZΣjk=Σkj

σZ2=j=1daj2Σjj+2j=2dk=1j1ajakΣjk

Σjj=var(Xj)Σjk=cov(Xj,Xk)d=2a1=a2=1

σZ2=j=12(1)2Σjj+2j=22k=1j1(1)(1)Σjk=Σ11+Σ22+2Σ21
Wahrscheinlichkeitslogik
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+1 Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, die Details aufzuschreiben. Kann diese Frage in die FAQ aufgenommen werden?
Dilip Sarwate