Warum in CLT

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Sei X1,...,Xn unabhängige Beobachtungen von einer Verteilung, die den Mittelwert μ und die Varianz σ2< , wenn n , dann

nX¯nμσN(0,1).

Warum bedeutet dies, dass

X¯nN(μ,σ2n)?
mavavilj
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Vielleicht wurde dies im Folgenden nicht klar genug betont, aber die Aussage ist während der Aussage mathematisch bedeutsam und wahr ist mathematisch absurd, daher, wie das Sprichwort sagt, nicht einmal falsch . ˉ X n~N(μ, & sgr; 2
nX¯nμσN(0,1)
X¯nN(μ,σ2n)
Hat

Antworten:

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Ihre Interpretation ist etwas falsch. Der Central Limit Theorem (CLT) impliziert dies

X¯napproxN(μ,σ2n).

Dies liegt daran, dass CLT ein asymptotisches Ergebnis ist und wir in der Praxis nur mit endlichen Stichproben arbeiten. Wenn die Stichprobengröße jedoch groß genug ist, nehmen wir an, dass das CLT-Ergebnis in Näherung gilt und somit

nX¯nμσapproxN(0,1)nX¯nμσ.σnapproxσnN(0,1)X¯nμapproxN(0,σ2n)X¯nμ+μapproxμ+N(0,σ2n)X¯napproxN(μ,σ2n).

Dies liegt daran, dass für eine Zufallsvariable und Konstanten , (dies wird im zweiten Schritt verwendet) und , (dies wird im vorletzten Schritt verwendet).Xa,bVar(aX)=a2Var(X)E(b+X)=b+E(X)Var(b+X)=Var(X)

Lesen Sie dies für weitere Erklärungen der Algebra.

Greenparker
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Können Sie klarstellen, welche "Algebra" Sie verwenden, wenn Sie die Begriffe von der LHS von zur RHS übernehmen?
Mavavilj
Ich habe die Algebra geklärt. Das meiste davon verwendet Eigenschaften der Varianz und Erwartung.
Greenparker
Warum wird zB der zweite Term von zu ? N(μ,σ2n)N(μ,μ+σ2n)
Mavavilj
3
Weil . Intuitiv ändert das Hinzufügen einer konstanten Zahl zu einer Zufallsvariablen nichts an ihrer Varianz. Var(aX+b)=a2Var(X)
Greenparker
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Der einfachste Weg, dies zu sehen, besteht darin, den Mittelwert und die Varianz der Zufallsvariablen .X¯n

So besagt , dass der Mittelwert Null ist , und die Varianz eins ist. Daher haben wir für den Mittelwert:N(0,1)

E[nX¯nμσ]0
Verwenden von , wobei Konstanten sind, erhalten wir: E[ax+b]=aE[x]+ba,b
X¯nμ

Nun kann mit , wobei Konstanten sind, erhalten wir Folgendes für die Varianz:Var[ax+b]=a2Var[x]=a2σx2a,b

Var[nX¯nμσ]1
Var[X¯n]σ2n

Jetzt kennen wir den Mittelwert und die Varianz von , und die Gaußsche (Normal-) Verteilung mit diesem Mittelwert und dieser Varianz istX¯nN(μ,σ2n)

Sie fragen sich vielleicht, warum Sie all diese Algebra durchlaufen? Warum nicht direkt beweisen, dass zu ?X¯nN(μ,σ2n)

Der Grund ist, dass es in der Mathematik schwierig (unmöglich?) Ist, die Konvergenz zu sich ändernden Dingen zu beweisen, dh die rechte Seite des Konvergenzoperators muss festgelegt werden, damit Mathematiker ihre Tricks zum Beweisen von Aussagen verwenden können. Der Ausdruck ändert sich mit , was ein Problem darstellt. Mathematiker transformieren die Ausdrücke also so, dass die rechte Seite fest ist, zB ist eine schöne feste rechte Seite.N(μ,σ2n)nN(0,1)

Aksakal
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Dies impliziert nicht die Normalität von , außer als Annäherung. Wenn wir jedoch für einen Moment so tun, als ob genau normal ist, haben wir das Ergebnis, dass normal ist wenn normal ist . Eine Möglichkeit, dies zu sehen, ist die MomenterzeugungsfunktionX¯nn(X¯nμ)/στZ+μ(μ,τ2)Z(0,1)

MτZ+μ(t)=MZ(τt)Mμ(t)=et2τ2/2etμ=et2τ2/2+tμ

Das ist die normale mgf(μ,τ2)

dsaxton
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Warum beweist die Momenterzeugungsfunktion dies für die Verteilung?
Mavavilj
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Dies ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeit. Wenn zwei Zufallsvariablen dieselbe Momenterzeugungsfunktion haben, sind sie in der Verteilung gleich.
Dsaxton