Was ist eine isotrope (sphärische) Kovarianzmatrix?

Eine Kovarianzmatrix wird als isotrop oder sphärisch bezeichnet , wenn sie proportional zur Identitätsmatrix ist: dh sie ist diagonal und alle Elemente auf der Diagonale sind gleich. $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Diese Definition hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Wenn wir das Koordinatensystem mit einer orthogonalen Rotationsmatrix drehen , verwandelt sich die Kovarianzmatrix in dh es bleibt gleich. $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ I \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ I = λ I,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Intuitiv entspricht die isotrope Kovarianzmatrix einer "sphärischen" Datenwolke. Eine Kugel bleibt nach der Drehung eine Kugel.

Amöbe
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Was ist, wenn die Variablen gedreht werden können, um zur Kovarianzmatrix zu gelangen?

λ I

$\lambda \mathbf I$

Aksakal

@Aksakal Siehe Update.

Amöbe

+1. Seltsamerweise gilt eine völlig andere Definition von "isotrop" auch für da es - wie bei Kovarianzmatrizen üblich - eine quadratische Form auf einem realen Vektorraum darstellt. In diesem anderen Sinne ist die einzige isotrope Kovarianzmatrix die Nullmatrix!

C

$C$

whuber

@whuber Interessant! Ich erinnerte mich nicht daran, dass es einen Begriff von "isotropen" quadratischen Formen gibt. Aber wäre beim Lesen der Definition jetzt keine Kovarianzmatrix mit mindestens einem Null-Eigenwert in diesem Sinne "isotrop"?

Amöbe

Sie haben Recht - ich habe den Quantifizierer falsch angegeben. Per Definition hat eine isotrope quadratische Form mindestens einen isotropen Vektor ungleich Null (anstatt dass alle Vektoren isotrop sind).

whuber

Was ist eine isotrope (sphärische) Kovarianzmatrix?

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