Was ist eine isotrope (sphärische) Kovarianzmatrix?

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Könnte mir jemand in einfachen Worten erklären, was eine isotrope Kovarianzmatrix ist? Ich kann online nichts finden.

Prüfung
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Antworten:

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Eine Kovarianzmatrix wird als isotrop oder sphärisch bezeichnet , wenn sie proportional zur Identitätsmatrix ist: dh sie ist diagonal und alle Elemente auf der Diagonale sind gleich.C = λ I ,C

C=λI,

Diese Definition hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Wenn wir das Koordinatensystem mit einer orthogonalen Rotationsmatrix drehen , verwandelt sich die Kovarianzmatrix in dh es bleibt gleich.VC V = Vλ IV = VVλ I = λ I ,V

VCV=VλIV=VVλI=λI,

Intuitiv entspricht die isotrope Kovarianzmatrix einer "sphärischen" Datenwolke. Eine Kugel bleibt nach der Drehung eine Kugel.

Amöbe
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Was ist, wenn die Variablen gedreht werden können, um zur Kovarianzmatrix zu gelangen? λI
Aksakal
@Aksakal Siehe Update.
Amöbe
+1. Seltsamerweise gilt eine völlig andere Definition von "isotrop" auch für da es - wie bei Kovarianzmatrizen üblich - eine quadratische Form auf einem realen Vektorraum darstellt. In diesem anderen Sinne ist die einzige isotrope Kovarianzmatrix die Nullmatrix! C
whuber
@whuber Interessant! Ich erinnerte mich nicht daran, dass es einen Begriff von "isotropen" quadratischen Formen gibt. Aber wäre beim Lesen der Definition jetzt keine Kovarianzmatrix mit mindestens einem Null-Eigenwert in diesem Sinne "isotrop"?
Amöbe
Sie haben Recht - ich habe den Quantifizierer falsch angegeben. Per Definition hat eine isotrope quadratische Form mindestens einen isotropen Vektor ungleich Null (anstatt dass alle Vektoren isotrop sind).
whuber
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Die Kovarianz ist nur eine Funktion von. Sie können eine Definition finden dort .|xx|

Edit: Entschuldigung, ich habe falsch verstanden, für Matrix ist die richtige Antwort die von Amöben.

mic
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Die Fragen stellt über Kovarianz Matrix . Natürlich kann eine Matrix als Funktion angesehen werden, aber ich denke, dies erfordert einige Ausarbeitungen für das OP.
Amöbe