Beweis der Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation ohne Annahme, dass die CDF streng ansteigt

Ich weiß, dass der Beweis für die Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation auf dieser Site mehrfach gegeben wurde. Die Beweise, die ich gefunden habe, verwenden jedoch die Hypothese, dass der CDF $F_X(x)$ streng zunimmt (natürlich zusammen mit der Hypothese, dass $X$ eine kontinuierliche Zufallsvariable ist). Ich weiß, dass die einzig erforderliche Hypothese tatsächlich ist, dass $X$ eine kontinuierliche Zufallsvariable ist und keine strikte Monotonie erforderlich ist. Kannst du mir zeigen wie?

Da ich bereits hier bin, nehme ich auch die Gelegenheit wahr, um eine einfache Anwendung der Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation zu bitten :) Können Sie mir zeigen, dass, wenn $X$ CDF $F_X(x)$ und $Y$ die Kürzung von $X$ zu $[a,b]$ , dann wird $Y$ als $F_X^{-1}(U)$ wobei $U\sim[F_X(a),F_X(b)]$ ?

probability cdf DeltaIV
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Wenn Sie so freundlich wären, könnten Sie im Beweis Ihres Links darauf hinweisen, wo die Anforderung, dass

F_{X} (x)

$F_X(x)$ strikt zunehmen muss. Vielen Dank!

Erosennin

@Erosennin, der Beweis setzt die Existenz der Umkehrung von

voraus

F_{X} (x)

$F_X(x)$ .

DeltaIV

Vielen Dank! Aber gibt es jemals eine CDF, die nicht strikt zunimmt? Sie haben wahrscheinlich schon daran gedacht ...

Erosennin

Natürlich gibt es. Die Zufallsvariable, deren pdf gleich 1/2 in [0,0,5], 0 in [0,5,1] und 1/2 in [1,1,5] ist, hat eine CDF, die kontinuierlich ist, aber nicht streng zunimmt.

DeltaIV

F

$F$

F

$F$

F

$F$

Antworten:

In dem vom OP bereitgestellten Wikipedia-Link ist die Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation im univariaten Fall wie folgt angegeben

$X$ $F_X$ $Y=F_X(X)$

$X$ $Y = F_X (X)$

$\begin{aligned} F_{Y} (y) & = Prob (Y \leq y) \\ = Prob (F_{X} (X) \leq y) \\ = Prob (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}$ $\begin{align} F_Y (y) &= \operatorname{Prob}(Y\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_X (y)) \\ &= F_X (F^{-1}_X (y)) \\ &= y \end{align}$

$F_Y$ $\mathrm{Uniform}(0,1)$ $Y$ $[0, 1]$

$F_X^{-1}$

F_{Z}^{- 1} (t) \equiv inf {z : F_{Z} (z) \geq t}, t \in (0, 1)

$F_Z^{-1}(t) \equiv \inf \{z : F_Z(z) \geq t \}, \;\;t\in (0,1)$

Unter dieser Definition gilt weiterhin die Wikipedia-Reihe von Gleichheiten für kontinuierliche CDFs. Die kritische Gleichheit ist

Prob (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) = Prob (X \leq inf {x : F_{X} (x) \geq y}) = Prob (F_{X} (X) \leq y)

$\operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_{X} (y)) = \operatorname{Prob}(X\leq \inf \{x : F_X(x) \geq y \})= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y)$

Das gilt, weil wir eine kontinuierliche CDF untersuchen. In der Praxis bedeutet dies, dass der Graph kontinuierlich ist (und keine vertikalen Teile aufweist, da er eine Funktion und keine Entsprechung ist). Dies impliziert wiederum, dass das Infimum (der Wert von inf {...}), das als bezeichnet wird, immer so ist, dass . Der Rest ist sofort. $x(y)$ $F_X(x(y)) = y$

In Bezug auf CDFs diskreter (oder gemischter) Verteilungen ist es nicht (kann nicht wahr sein), dass einem einheitlichen folgt , aber es ist immer noch wahr, dass die Zufallsvariable hat die Verteilungsfunktion (so dass die inverse Transformationsabtastung weiterhin verwendet werden kann). Ein Beweis findet sich in Shorack, GR (2000). Wahrscheinlichkeit für Statistiker . ch.7 . $Y=F_X(X)$ $U(0,1)$ $Z=F_{X}^{-1}(U)$ $F_X$

Alecos Papadopoulos
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+1 Ein ähnlicher Beweis wird auch auf Seite bereitgestellt. 54 von Casella und Berger's Statistical Inference, zweite Ausgabe.

StatsStudent

@ Analyst1 Danke, es ist gut, mehrere Referenzen zu haben.

Alecos Papadopoulos