Wenn

Ich habe eine Variable , von der ich weiß, dass sie eine endliche Varianz hat (und daher auch einen endlichen Mittelwert). Stimmt es immer, dass seine Varianz nach der Skalierung mit endlich bleibt ? $X$ $0 \le Y \le 1$

Beachten Sie, dass und nicht unbedingt unabhängig sind. $X$ $Y$

Edit: Ich glaube, der "Worst-Case" ist wenn und wenn , für einige (und den gespiegelten Fall)? $Y$ $0$ $X < c$ $1$ $X \ge c$ $c$

mathematical-statistics variance bounds Aaron Voelker
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Ist eine Zufallsvariable?

Y

$Y$

Greenparker

Ja, aber es kann von abhängen .

X

$X$

Aaron Voelker

Eine völlig triviale Ungleichung ist in solchen Situationen manchmal sehr nützlich: . (Dies ist vielleicht der einfachste Sonderfall von Hölders Ungleichung für

angewendet auf

und

)

E (X^{2} Y^{2}) \leq E (X^{2}) sup (Y^{2})

$\mathbb{E}(X^2Y^2) \le \mathbb{E}(X^2)\sup(Y^2)$

p = 1, q = \infty

$p=1,q=\infty$

X^{2}

$X^2$

Y^{2}

$Y^2$

whuber

Danke whuber. Ich glaube, das führt zur richtigen Lösung (siehe die Antwort, die ich gegeben habe)!

Aaron Voelker

Antworten:

Ich habe die Antwort von kjetil nicht akzeptiert, da, wie in den Kommentaren erwähnt, davon ausgegangen wird, dass und unabhängig sind. $X$ $Y$

Die folgende Antwort sollte funktionieren, wenn und abhängig sind, indem der Vorschlag von whuber verwendet wird: $X$ $Y$

\begin{aligned} Var (X Y) & = E ((X Y)^{2}) - E (X Y)^{2} \\ \leq E (X^{2} Y^{2}) \\ \leq E (X^{2}) sup (Y^{2}) \\ = E (X^{2}) \\ = Var (X) + E (X)^{2} \\ < \infty \end{aligned}

$\begin{align} \text{Var}(XY) &= E((XY)^2) - E(XY)^2 \\ &\le E(X^2Y^2) \\ &\le E(X^2)\sup(Y^2) \\ &= E(X^2) \\ &= \text{Var}(X) + E(X)^2 \\ &< \infty \end{align}$

Beachten Sie, dass das Ergebnis auch für jedes begrenzte (da endlich ist). $Y$ $\sup(Y^2)$

Aaron Voelker
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Beachten Sie auch, dass wir auf , da .

| E (X Y) | \leq \sqrt{Var (X) + E (X)^{2}}

$|E(XY)| \le \sqrt{\text{Var}(X) + E(X)^2}$

Var (X Y) \geq 0 ⟹ E (X Y)^{2} \leq E ((X Y)^{2})

$\text{Var}(XY) \ge 0 \implies E(XY)^2 \le E((XY)^2)$

Aaron Voelker

Ich glaube nicht, dass kjetil die Unabhängigkeit zwischen und . Das Gesetz der totalen Variation gilt im Allgemeinen und setzt keine Unabhängigkeit voraus. Ich kann also in seiner Aussage nichts finden, was Unabhängigkeit voraussetzt. Beachten Sie auch, dass Ihre Schlussfolgerung genau die gleiche ist wie meine Schlussfolgerung, die auf der Antwort von kjetil basiert.

X

$X$

Y

$Y$

Greenparker

Die Unabhängigkeit muss irgendwo verwendet worden sein (ich denke, wenn man die Erwartung herausrechnet), andernfalls besagt die erste Gleichung aus Ihrer Antwort (wie in meinem Kommentar gezeigt), dass ist, unabhängig davon, ob und oder nicht sind unabhängig, was ein Widerspruch ist. Die Tatsache, dass wir zu demselben Schluss gekommen sind, ist eine Art "Zufall", weil wir beide Obergrenzen angeben. Meins stammt aus dem Löschen des Terms und , und deins stammt aus .

Var (X Y)

$\text{Var}(XY)$

X

$X$

Y

$Y$

E (X Y)^{2}

$E(XY)^2$

Y^{2} \leq sup (Y^{2})

$Y^2 \le \sup(Y^2)$

Var (Y), E (Y^{2}) \leq sup (Y^{2})

$\text{Var}(Y), E(Y^2) \le \sup(Y^2)$

Aaron Voelker

Ich glaube, ich habe herausgefunden, wo kjetil Unabhängigkeit einsetzt. Nach dem Gesetz der Gesamtvarianz ist . Betrachten wir nur den ersten Term der nicht mit identisch ist . Dies ist nur dann der wenn und unabhängig sind.

V a r (X Y) = V a r (E (X Y | Y)) + E (V a r (X Y | Y))

$Var(XY) = Var(E(XY|Y)) + E(Var(XY|Y))$

V a r (E (X Y ∣ Y)) = V a r (Y^{2} E (X ∣ Y))

$Var(E(XY \mid Y)) = Var(Y^2E(X \mid Y))$

V a r (Y^{2} E (X))

$Var(Y^2E(X))$

X

$X$

Y

$Y$

Greenparker

Ich habe meine Antwort geändert, um die Änderungen widerzuspiegeln.

Greenparker

Sie müssen die Formel wobei der Varianzoperator ist. Nehmen Sie es Begriff für Begriff, schreiben Sie , mit Varianz (über ) was endlich ist, da begrenzt ist.

V (X Y) = E (V (X Y | Y)) + V (E (X Y | Y))

$\DeclareMathOperator{\Var}{\mathbb{V}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \Var (XY) = \E (\Var (XY | Y)) + \Var (\E (XY | Y))$

V

$\Var$

μ = E X, σ^{2} = V X

$\mu=\E X, \sigma^2=\Var X$

E (X Y | Y = y) = E (y X) = y E (X) = μ y

$\E (XY | Y= y) = \E (yX) = y \E (X) =\mu y$

Y

$Y$

V (μ Y)

$\Var (\mu Y)$

Y

$Y$

Dann ist der andere Term der wiederum eine endliche Erwartung hat, da begrenzt ist. Die Antwort lautet also ja. $\Var (XY | Y=y) = \Var (yX) = y^2 \Var (X) = \sigma^2 y^2$ $Y$

kjetil b halvorsen
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Nett. Um mein Verständnis zu überprüfen, wird das Gesetz der totalen Varianz verwendet ? Auch dies scheint etwas allgemeineres zu beweisen: dass die Varianz endlich ist, solange die Varianz von und

X Y

$XY$

X

$X$

Y

$Y$ sind endlich?

Aaron Voelker

@ Aaron Voelker: Bei den Berechnungen ist keine Unabhängigkeit erforderlich.

kjetil b halvorsen

@ kjetilbhalvorsen

E (X Y ∣ Y = y) = E (y X)

$\mathbb{E}(XY \mid Y=y) = \mathbb{E}(yX)$ gilt nicht ohne einige Annahmen (wie Unabhängigkeit).

Juho Kokkala

@ Juho

E (1 X) = E (X) = 0.5

$\mathbb{E}(1 X) = \mathbb{E}(X)=0.5$ , zu. Die Beziehung

E (X Y ∣ Y = y) = E (X) y

$\mathbb{E}(XY\mid Y=y)=\mathbb{E}(X)y$ ist ein Beispiel für einen sehr allgemeinen Satz namens "Herausnehmen des Bekannten". Es erfordert keine Unabhängigkeit von

(X, Y)

$(X,Y)$ . Siehe en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation#Basic_properties .

whuber

@Juho Sorry, mein Kommentar war dumm. Natürlich musste ich die bedingte Erwartung einschreiben

E (X Y ∣ Y = y) = E (X ∣ Y = y) y

$\mathbb{E}(XY\mid Y=y)=\mathbb{E}(X\mid Y=y) y$ . Aus irgendeinem Grund habe ich diese Erwartungen automatisch als bedingt verstanden, auch wenn sie nicht ... waren.

whuber