Das Produkt zweier logarithmischer Zufallsvariablen

Sei und zwei normale Zufallsvariablen. Schreiben Sie und , um Ideen zu .$X_1$$X_2$$X_1\sim N(\mu_1, \sigma^2_1)$$X_2\sim N(\mu_2, \sigma^2_2)$

Betrachten Sie die entsprechenden logarithmischen Normal-Zufallsvariablen: , .$Z_1 = \exp(X_1)$$Z_2 = \exp(X_2)$

Frage: Wie ist die Verteilung des Produkts der beiden Zufallsvariablen, dh die Verteilung von ?$Z_1Z_2$

Wenn die normalen Zufallsvariablen unabhängig sind oder eine bivariate Normalverteilung haben, ist die Antwort einfach: Wir haben mit der Summe normal, daher ist das Produkt immer noch lognormal .$X_1, X_2$$Z_1Z_2 = \exp(X_1+X_2)$$X_1+X_2$$Z_1Z_2$

Angenommen, sind im Allgemeinen unabhängig, etwa mit Korrelation . Was können wir über die Verteilung von sagen ?$X_1, X_2$$not$$\rho$$Z_1Z_2$

Mit Dilips antworten Sie hier , wenn$X$ und $Y$ sind bi-variabel normal und $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ und $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ und die Korrelation zwischen $X$ und $Y$ ist $\rho$. Dann

Somit $Z_1Z_2$ wird auch eine logarithmische Normalverteilung mit Parametern sein $\mu_1 + \mu_2$ und $\sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\rho\sigma_1 \sigma_2$.