Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass der Mittelwert der iid-Variablen gegen unendlich geht, normalverteilt wird.
Dies wirft zwei Fragen auf:
- Können wir daraus das Gesetz der großen Zahlen ableiten? Wenn das Gesetz der großen Zahlen besagt , dass der Mittelwert einer Probe einer Zufallsvariablen der Werte die wahre Mittelwert gleich wie bis ins Unendliche geht, dann scheint es , noch stärker zu sagen , dass (wie der zentrale Grenzwert sagt) , dass der Wert wird wobei die Standardabweichung ist. Ist es gerecht zu sagen, dass die zentrale Grenze das Gesetz der großen Zahlen impliziert?
- Gilt der zentrale Grenzwertsatz für die lineare Kombination von Variablen?
Antworten:
Das OP sagt
Ich werde dies so verstehen, dass es die Überzeugung des OP ist, dass für iid Zufallsvariablen mit mittlerem μ und Standardabweichung σ die kumulative Verteilungsfunktion F Z n ( a ) von Z n = 1 istXi μ σ FZn(a)
konvergiert zur kumulativen Verteilungsfunktion vonN(μ,σ), einer normalen Zufallsvariablen mit mittleremμund Standardabweichungσ. Oder das OP glaubt, dass geringfügige Umordnungen dieser Formel, z. B. die Verteilung vonZn-μ,gegen die Verteilung vonN(0,σ)oder die Verteilung von(Zn-μ)/σkonvergieren
Das OP fährt fort zu sagen
Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt, dass für iid Zufallsvariablen mit dem endlichen Mittel μ , gegeben mit ϵ > 0 , P { | Z n - μ | > ϵ } → 0 als n → ∞ .Xi μ ϵ>0
Also, um die Frage des OP zu beantworten,
Der vom OP angegebene zentrale Grenzwertsatz impliziert nicht das schwache Gesetz der großen Zahlen. Als sagt die OP-Version des zentralen Grenzwertsatzes, dass P { | Z n - μ | > σ } → 0.317 ⋯ während das schwache Gesetz besagt, dass P { | Z n - μ | > σ } → 0n→∞ P{|Zn−μ|>σ}→0.317⋯ P{|Zn−μ|>σ}→0
Von einem richtigen Aussage des zentralen Grenzwertsatzes kann man bestenfalls eine eingeschränkte Form des schwachen Gesetzes der großen Zahlen ableiten, das für Zufallsvariablen mit endlichem Mittelwert und Standardabweichung gilt. Das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt aber auch für Zufallsvariablen wie Pareto-Zufallsvariablen mit endlichen Mitteln, aber unendlicher Standardabweichung.
Ich verstehe nicht, warum die Aussage, dass der Stichprobenmittelwert gegen eine normale Zufallsvariable mit einer Standardabweichung ungleich Null konvergiert, eine stärkere Aussage ist als die Aussage, dass der Stichprobenmittelwert gegen den Populationsmittelwert konvergiert, der eine Konstante ist (oder eine Zufallsvariable mit einer Standardabweichung null, wenn du magst).
quelle
quelle
In other words, a linear combination of random variables wont converge to a linear combination of normals under the CLT, just one normal. This makes sense because a linear combination of random variables is just a different random variable that CLT can be applied to directly.
quelle