Mittelwert der inversen Exponentialverteilung

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Was ist bei einer Zufallsvariablen der Mittelwert und die Varianz von ?Y=Exp(λ)G=1Y

Ich betrachte die inverse Gammaverteilung, aber der Mittelwert und die Varianz sind nur für bzw. ...α>1α>2

Diogo Santos
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Antworten:

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Angesichts der Tatsache, dass die inverse Exponentialverteilung , sind Sie auf die Tatsache gestoßen, dass der Mittelwert der inversen Exponentialverteilung . Und deshalb ist die Varianz des inversen Exponentials undefiniert.α=1

Wenn invers exponentiell verteilt ist, existiert und ist endlich für und für .E ( G r ) r < 1 = r = 1GE(Gr)r<1=r=1

Mark L. Stone
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Dies ist mit meiner Frage hier verbunden
Diogo Santos
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Ich zeige die Berechnung für den Mittelwert einer Exponentialverteilung, damit Sie sich an den Ansatz erinnern können. Dann werde ich mit dem gleichen Ansatz das inverse Exponential wählen.

Gegeben istfY(y)=λeλy

E[Y]=0yfY(y)dy

=0yλeλydy

=λ0yeλydy

Teilweise Integration (ignorieren Sie das vor dem Integral für den Moment),λ

u=y,dv=eλydy

du=dy,v=1λeλy

=y1λeλy01λeλydy

=y1λeλy+1λ0eλydy

=y1λeλy1λ2eλy

Multiplizieren Sie mit dem vor dem Integral.λ

=yeλy1λeλy

Für und ,0

=(00)1λ(01)

=λ1

Welches ist ein bekanntes Ergebnis.

Für gilt dieselbe Logik.G=1Y

E[G]=E[1Y]=01yfY(y)dy

=01yλeλydy

=λ01yeλydy

Der Hauptunterschied besteht darin, dass für eine Integration nach Teilen

u=y1

und

du=1y2

es hilft uns also nicht für . Ich denke, das Integral ist hier undefiniert. Wolfram Alpha sagt mir, dass es nicht konvergiert.G=1y

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

Der Mittelwert existiert also nicht für das inverse Exponential oder äquivalent für das inverse Gamma mit . Der Grund ist ähnlich für die Varianz und .α=1α>2

Étienne Vanasse
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Beachten Sie, dass (wie Whuber eine andere Antwort kommentierte) für nahe von weg begrenzt ist und für jedes abweicht , also divergiert das Integral für tatsächlich. exp(λy)0y0ϵ > 0 E [ G ]0ϵ1ydyϵ>0E[G]
Strants
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Nach einer kurzen Simulation (in R) scheint der Mittelwert nicht zu existieren: Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Zum Vergleich ist hier, was mit einer echten exponentiellen Zufallsvariablen passiert.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

RUser4512
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Der Mittelwert kann nicht existieren, da das Exponential in jeder Nachbarschaft von Null eine positive Dichte aufweist.
whuber
@whuber in der Tat, das habe ich zu betonen versucht: Das empirische Mittel konvergiert nicht für die Umkehrung eines Exponentialgesetzes, während es für ein Exponentialgesetz gilt.
RUser4512
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Ja, aber (1) aus der Tatsache, die ich zitiert habe, ist die Schlussfolgerung, dass keine Erwartung vorliegt, sofort offensichtlich, und (2) kein Simulationsaufwand kann mehr bewirken, als darauf hinzuweisen, dass eine Erwartung möglicherweise undefiniert ist. Wenn man beispielsweise das Exponential bei einer Untergrenze von abschneiden würde, hätte seine Umkehrung zwar eine endliche Erwartung, aber Ihre Simulationen würden nicht anders aussehen. Daher scheint die einfache Beobachtung (1) viel informativer und zuverlässiger zu sein als die Simulationen. 101000
whuber