Warum ist

Auf dieser zentralen AP-Seite Random Variables vs. Algebraic Variables unterscheidet der Autor Peter Flanagan-Hyde zwischen algebraischen und zufälligen Variablen.

Zum Teil sagt er

$x + x = 2x$ , aber $X + X \neq 2X$

- in der Tat ist es der Untertitel des Artikels.

Was ist der grundlegende Unterschied zwischen einer algebraischen Variablen und einer Zufallsvariablen?

Wenden wir uns also zunächst dieser Frage zu: '' Was ist der grundlegende Unterschied zwischen einer algebraischen Variablen und einer Zufallsvariablen? ''

Eine Zufallsvariable ist überhaupt keine algebraische Variable. Formal ist es als eine Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω bis R definiert .$X$$\Omega$$\mathbb R$

OK ... Was das wirklich bedeutet, ist, dass Sie zufällige Experimente durchführen (z. B. Würfel werfen, einen zufälligen Menschen auswählen) und diese Experimente messen (z. B. Anzahl der Würfel auf der Oberseite, Größe, Geschlecht, Cholesterinspiegel des Menschen) ). Die Menge ist die Menge aller möglichen Experimente. Auf einem bestimmten Experiment ω & egr ; Ω , machen Sie ein Maß X ( ω ) : Deshalb formell es eine Funktion von ist Ω bis R .$\Omega$$\omega\in\Omega$$X(\omega)$$\Omega$$\mathbb R$

Jetzt im Allgemeinen vergessen wir völlig über . Die Zufallsvariablen werden nach ihrem Wahrscheinlichkeitsgesetz definiert. Im Falle eines fairen Würfels sagt man einfach$\Omega$

• fürk=1,…,6(die Wahrscheinlichkeit vonXgleichkist 1/6 fürkvon 1 bis 6),$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$$k=1,\dots,6$$X$$k$$k$

Anstatt von

• (die Würfelmenge, auf die das Maß X - Oberseite - k fällt,hat Wahrscheinlichkeit 1/6) ...$\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$$X$$k$

Es ist einfacher. Sie können sogar völlig vermeiden, die Schüler mit belästigen .$\Omega$

Ich hoffe, das bringt Licht ins Dunkel.

Was dieser Typ nun mit meint, ist nicht, dass die Summe eines solchen Maßes mit sich selbst nicht doppelt so groß ist - leider ist es das, was er schreibt. Er meint damit, dass die Summe zweier solcher Messungen, die in verschiedenen Experimenten durchgeführt wurden, nicht dasselbe Gesetz hat wie die doppelte Messung. Dies könnte geschrieben werden als X 1 ∼ X 2 ⇏ X 1 + X 2 ∼ 2 X 1 (die Tatsache, dass X 1 und X 2 die gleiche Verteilung haben, impliziert nicht, dass X 1$X + X \ne 2X$$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$ hat die gleiche Verteilung wie 2 X 1 ).$X_1 + X_2$$2 X_1$

[In einer früheren Version der Frage wurde nach einer Antwort gefragt, bei der die Mathematik vollständig vermieden wurde. Diese Antwort war ein Versuch, eine intuitive Motivation zu geben, ähnlich wie das Dokument, nach dem gefragt wird.]

Die verlinkte Seite ist falsch, wenn sie besagt, dass .$X+X\neq 2X$

Im Beispiel ist eine Zufallsvariable die Zahl, die auf der Vorderseite eines Würfels angezeigt wird - das Ergebnis eines Experiments wie "Wirf einen sechsseitigen Würfel einmal und trage die Zahl auf der Vorderseite des Würfels ein".$X$

Also würfelst du und schreibst auf, was du gesehen hast. Jede Zahl, die Sie aufzeichnen würden, ist ... also steht X + X für das zu sich selbst hinzugefügte Ergebnis. Wenn Sie einen weiteren Würfel werfen, ändert sich die zuvor notierte Zahl nicht.$X$$X+X$

Später auf der Seite heißt es:

Wenn jedoch zwei Würfel gewürfelt werden, sind die Ergebnisse unterschiedlich. Nennen Sie die Zufallsvariable, die die Ergebnisse des Zwei-Würfel-Prozesses (für "zwei"). Wir könnten T = X + X schreiben . Diese Gleichung stellt die Tatsache dar, dass T das Ergebnis von zwei unabhängigen Instanzen der Zufallsvariablen $T$$T = X + X$$T$$T$

Das Ende dieses Zitats ist vermutlich ein typografischer Fehler, sie bedeuten nicht T dort (da, wenn es T war, sie gerade sagten, dass T das Ergebnis von zwei Instanzen von selbst war). Aber mit diesem Ersatz ist es immer noch falsch.$X$$T$$T$$T$

Wenn Sie zwei unabhängige Instanzen des Experiments haben (würfeln Sie, notieren Sie die angezeigte Zahl), haben Sie es mit zwei verschiedenen Zufallsvariablen zu tun .

Stellen Sie sich vor, ich hätte einen roten und einen blauen Würfel. Dann kann ich sagen "Das Ergebnis auf dem roten Würfel sei und das Ergebnis auf dem blauen Würfel sei X 2 ". Dann können wir dem Beispiel auf dieser verknüpften Seite folgen, indem wir T als die Summe der auf diesen beiden Würfeln angezeigten Zahlen definieren , also T = X 1 + X 2 . Wenn der Würfel und der Würfelwurf fair sind, ist die Verteilung von X 1 und X 2 gleich, aber X 1 und X 2 - die Zufallsvariablen - sind verschieden.$X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$

[Es gibt eine ausgezeichnete Diskussion von whuber von Zufallsvariablen (und Summen von ihnen) hier , und das Konzept der Zufallsvariablen etwas detaillierter (wenn stellenweise mehr technischen) bedeckt hier . Ich empfehle dir zumindest die Antwort auf den ersten Link zu lesen.]

Dieses Problem ist aufgetreten, weil der Autor die Zufallsvariable mit ihrer Verteilung verwechselt hat. Das können Sie hier sehen:

In diesem Fall stellen sich die Schüler die Zufallsvariable X als einen einzelnen, unbekannten Wert vor, genauso wie sie sich algebraische Variablen vorstellen. Aber X bezieht sich wirklich auf die Verteilung möglicher Werte und die damit verbundenen Wahrscheinlichkeiten.

Er verknüpft die Zufallsvariable explizit mit ihrer Verteilung.

Tatsächlich sind Zufallsvariablen in vielerlei Hinsicht genau wie andere algebraische Variablen und können oft auf dieselbe Weise manipuliert werden. Insbesondere steht eine einzelne univariate Zufallsvariable nicht für zwei verschiedene Größen (wie das Ergebnis von zwei verschiedenen Würfeln) zur gleichen Zeit. ist wirklich 2 X .$X+X$$2X$

Die Seite, auf die Sie verlinkt haben, ist absolut falsch. Er schreibt , obwohl er angibt, dass er zwei unabhängige Würfel würfelt. Dies bedeutet, dass er T = X + Y schreiben sollte, wobei X und Y die Ergebnisse der beiden Würfel sind.$T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

Beide Aufruf ist flach als falsch, da die Zufallsvariable X die Realisierung der Beobachtung sein muss o n e würfelt, nicht zwei oder mehr.$X$$X$$one$

Für eine Zufallsvariable gilt tatsächlich $X+X=2X$