Zeigen Sie, dass

Es sei $Y_1\sim SN(\mu_1,\sigma_1^2,\lambda)$ und $Y_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ unabhängig. Zeigen Sie, dass $Y_1+Y_2$ eine Schrägnormalverteilung haben, und finden Sie die Parameter dieser Verteilung.

Da die Zufallsvariablen unabhängig sind, habe ich versucht, Faltung zu verwenden. Sei $Z=Y_1+Y_2$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} 2 ϕ (y_{1} | μ_{1}, σ_{1}) Φ (λ (\frac{y_{1} - μ_{1}}{σ_{1}})) ϕ (z - y_{1} | μ_{2}, σ_{2}^{2}) d y_{1}

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}2\phi(y_1|\mu_1,\sigma_1)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\phi(z-y_1|\mu_2,\sigma_2^2)\,\text{d}y_1$

Hier sind $\phi()$ und $\Phi()$ das normale Standard-PDF bzw. -Cdf.

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} 2 \frac{1}{\sqrt{2 π σ_{1}}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ_{2}}} e x p (- \frac{1}{2 σ_{1}^{2}} (y_{1} - μ)^{2} - \frac{1}{2 σ_{2}^{2}} ((z - y_{1})^{2} - μ)^{2}) Φ (λ (\frac{y_{1} - μ_{1}}{σ_{1}})) d y_{1}

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2}}exp\Big(-\frac{1}{2\sigma_1^2}(y_1-\mu)^2-\frac{1}{2\sigma_2^2}((z-y_1)^2-\mu)^2\Big)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1$

Für vereinfachte Notationen sei $k=2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2}}$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = k \int_{- \infty}^{\infty} \exp (\frac{- 1}{2 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}} (σ_{1}^{2} (y_{1} - μ_{1})^{2} + σ_{2}^{2} ((z - y_{1}) - μ_{2})^{2})) Φ (λ (\frac{y_{1} - μ_{1}}{σ_{1}})) d y_{1} \\ = k \int_{- \infty}^{\infty} \exp (\frac{- 1}{2 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}} (σ_{2}^{2} (y_{1}^{2} - 2 y_{1} μ_{1} + μ_{1}) + σ_{1}^{2} ((z - y_{1})^{2} - 2 (z - y_{1}) μ_{2} + μ_{2}^{2}))) \\ \times Φ (λ (\frac{y_{1} - μ_{1}}{σ_{1}})) d y_{1} = k \int_{- \infty}^{\infty} \exp \\ (\frac{- 1}{2 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}} (σ_{2}^{2} (y_{1}^{2} - 2 y_{1} μ_{1} + μ_{1}) + σ_{1}^{2} (z^{2} - 2 z y_{1} + y_{1}^{2} - 2 z μ_{2} + 2 y_{1} μ_{2} + μ_{2}^{2}))) \\ \times Φ (λ (\frac{y_{1} - μ_{1}}{σ_{1}})) d y_{1} \end{aligned}

$\begin{align*}f_Z(z)&=k\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_1^2(y_1-\mu_1)^2+\sigma_2^2((z-y_1)-\mu_2)^2\Big)\Big)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1\\ &=k\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_2^2(y_1^2-2y_1\mu_1+\mu_1)+\sigma_1^2((z-y_1)^2-2(z-y_1)\mu_2+\mu_2^2)\Big)\Big)\\&\quad\times\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1=k\int_{-\infty}^{\infty} \exp\\&\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_2^2(y_1^2-2y_1\mu_1+\mu_1)+\sigma_1^2(z^2-2zy_1+y_1^2-2z\mu_2+2y_1\mu_2+\mu_2^2)\Big)\Big)\\&\quad\times\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1 \end{align*}$

Aber ich stecke an diesem Punkt fest.

BEARBEITEN: Befolgen Sie die Vorschläge in den Kommentaren und nehmen Sie und $\mu_1=\mu_2=0$ $\sigma_1^2=\sigma_2^2=1$

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} 2 \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} [y_{1}^{2} + z^{2} - 2 z y_{1} + y_{1}^{2}]) Φ (λ y_{1}) d y_{1} \\ \int_{- \infty}^{\infty} 2 \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} y_{1}^{2}) Φ (λ y_{1}) \exp (- \frac{1}{2} (z - y_{1})^{2}) d y_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} &\int_{-\infty}^\infty 2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{1}{2}[y_1^2+z^2-2zy_1+y_1^2]\Big)\Phi(\lambda y_1)dy_1 \\&\int_{-\infty}^\infty 2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{1}{2}y_1^2\Big)\Phi(\lambda y_1) \exp\Big(-\frac{1}{2}(z-y_1)^2\Big)dy_1\end{align*}$

ist schief normal.

probability self-study mgf skew-normal kjetil b halvorsen
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Wenn Sie einen einfacheren Fall von

versuchen , wird die Unordnung erheblich reduziert und Sie sehen den Wald anstelle der Bäume?

μ_{1} = μ_{2} = 0

$\mu_1 = \mu_2 = 0$

σ_{1} = σ_{2} = 1

$\sigma_1 = \sigma_2 = 1$

Dilip Sarwate

Ich denke, Dilips Vorschlag ist gut, aber Sie sollten Ihre Erweiterung des ersten quadratischen Terms sorgfältig prüfen. (Es wird Ihr unmittelbares Problem nicht beheben, aber es wird am Ende eine

Rolle spielen

Antworten:

Neuparametrisierung des Versatzes in Bezug auf und unter Verwendung des mgf der Schrägnormalen (siehe unten)hatmgf , daundunabhängig sind. $\delta=\lambda/\sqrt{1+\lambda^2}$ $Y_1$ $Y_2$ $Z=Y_1 + Y_2$ dass das MGF einer Skew normal mit Parametern ist,, undwobeider neue Versatzparameter ist. Daher ist

\begin{aligned} M_{Z} (t) & = M_{Y_{1}} (t) M_{Y_{2}} (t) \\ = 2 e^{μ_{1} t + σ_{1}^{2} t^{2} / 2} Φ (σ_{1} δ t) e^{μ_{2} t + σ_{2}^{2} t^{2} / 2} \\ = 2 e^{(μ_{1} + μ_{2}) t + (σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}) t^{2} / 2} Φ (σ_{1} δ t) \\ = 2 e^{μ t + σ^{2} t^{2} / 2} Φ (σ δ^{'} t), \end{aligned}

$\begin{align} M_Z(t) &= M_{Y_1}(t)M_{Y_2}(t) \\ &= 2e^{\mu_1 t +\sigma_1^2 t^2/2}\Phi(\sigma_1\delta t)e^{\mu_2t +\sigma_2^2 t^2/2} \\ &= 2e^{(\mu_1+\mu_2)t + (\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2/2}\Phi(\sigma_1 \delta t) \\ &= 2e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}\Phi(\sigma \delta' t), \end{align}$

μ = μ_{1} + μ_{2}

$\mu=\mu_1+\mu_2$

σ^{2} = σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}

$\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2$

σ δ^{'} = σ_{1} δ

$\sigma\delta'=\sigma_1\delta$

δ^{'}

$\delta'$

In der anderen Parametrisierung kann der neue Versatzparameter

nach einer gewissen Algebra geschrieben werden, z. B. als

δ^{'} = δ \frac{σ_{1}}{σ} = δ \frac{σ_{1}}{\sqrt{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}} .

$\delta'=\delta\frac{\sigma_1}\sigma=\delta\frac{\sigma_1}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}.$

λ^{'}

$\lambda'$

λ^{'} = \frac{δ^{'}}{\sqrt{1 - δ^{' 2}}} = \frac{λ}{\sqrt{1 + \frac{σ_{2}^{2}}{σ_{1}^{2}} (1 + λ^{2})}} .

$\lambda' = \frac{\delta'}{\sqrt{1-\delta'^2}}=\frac{\lambda}{\sqrt{1 + \frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}(1+\lambda^2)}}.$

Die mgf einer Standardversatznormalen können wie folgt abgeleitet werden:

\begin{aligned} M_{X} (t) & = E e^{t X} \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{x t} 2 \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} Φ (λ x) d x \\ = 2 \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} (x^{2} - 2 t x)} Φ (λ x) d x \\ = 2 \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} ((x - t)^{2} - t^{2})} Φ (λ x) d x \\ = 2 e^{t^{2} / 2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} (x - t)^{2}} P (Z \leq λ x) d x, & where Z \sim N (0, 1) \\ = 2 e^{t^{2} / 2} P (Z \leq λ U), & where U \sim N (t, 1) \\ = 2 e^{t^{2} / 2} P (Z - λ U \leq 0) \\ = 2 e^{t^{2} / 2} P (\frac{Z - λ U + λ t}{\sqrt{1 + λ^{2}}} \leq \frac{λ t}{\sqrt{1 + λ^{2}}}) \\ = 2 e^{t^{2} / 2} Φ (\frac{λ}{\sqrt{1 + λ^{2}}} t) . \end{aligned}

$\begin{align} M_X(t)&=Ee^{tX} \\ &=\int_{-\infty}^\infty e^{xt}2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\Phi(\lambda x)dx \\ &=2\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(x^2-2tx)}\Phi(\lambda x)dx\\ &=2\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12((x-t)^2-t^2)}\Phi(\lambda x)dx \\ &=2e^{t^2/2} \int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(x-t)^2}P(Z\le \lambda x)dx, & \text{where }Z \sim N(0,1) \\ &=2e^{t^2/2} P(Z\le \lambda U), & \text{where }U \sim N(t,1)\\ &=2e^{t^2/2} P(Z - \lambda U \le 0) \\ &=2e^{t^2/2} P(\frac{Z - \lambda U +\lambda t}{\sqrt{1+\lambda^2}} \le \frac{\lambda t}{\sqrt{1+\lambda^2}}) \\ &=2e^{t^2/2}\Phi(\frac\lambda{\sqrt{1+\lambda^2}}t). \end{align}$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

M_{μ + σ X} (t) = E e^{(μ + σ X) t} = e^{μ t} M_{X} (σ t) = 2 e^{μ t + σ^{2} t^{2} / 2} Φ (\frac{λ}{\sqrt{1 + λ^{2}}} σ t) .

$M_{\mu + \sigma X}(t)=Ee^{(\mu+\sigma X)t} = e^{\mu t}M_X(\sigma t) = 2e^{\mu t+\sigma^2 t^2/2}\Phi(\frac\lambda{\sqrt{1+\lambda^2}}\sigma t).$

Jarle Tufto
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Ich habe nicht verstanden, wie man dieses bekommt

δ^{'} = δ \frac{σ_{1}}{σ}

$\delta'=\delta\frac{\sigma_1}\sigma$

t

$t$

t^{2}

$t^2$

Φ

$\Phi$