Gibt es einen Beweis dafür, dass das CLT keine charakteristischen Funktionen verwendet, eine einfachere Methode?
Vielleicht Tikhomirov oder Steins Methoden?
Etwas Eigenständiges, das Sie einem Universitätsstudenten erklären können (erstes Jahr Mathematik oder Physik) und das weniger als eine Seite umfasst?
Antworten:
Sie können es mit Steins Methode beweisen, es ist jedoch fraglich, ob der Beweis elementar ist. Die positive Seite von Steins Methode ist, dass Sie eine etwas schwächere Form von Berry Esseen-Grenzen im Wesentlichen kostenlos erhalten. Auch Steins Methode ist nichts weniger als schwarze Magie! Eine Darstellung des Beweises finden Sie in Abschnitt 6 dieses Links . Weitere Beweise für das CLT finden Sie auch im Link.
Hier ist eine kurze Übersicht:
1) Beweisen Sie unter Verwendung einer einfachen Integration durch Teile und der Normalverteilungsdichte, dass für all stetig differenzierbar iff A ist N ( 0 , 1 ) verteilt. Es ist einfacher zu zeigen. Ein Normalfall impliziert das Ergebnis und ein bisschen schwieriger, das Gegenteil zu zeigen, aber vielleicht kann es im Glauben genommen werden.Ef′(A)−Xf(A)=0 A N(0,1) A
2) Allgemeiner, wenn für jedes kontinuierlich differenzierbare f mit fEf(Xn)−Xnf(Xn)→0 f konvergiert X n in der Verteilunggegen N ( 0 , 1 ) , f ' begrenzt ist. Der Beweis hier ist wieder durch Teilintegration mit einigen Tricks. Insbesondere müssen wir wissen, dass die Konvergenz in der Verteilung äquivalent zu E g ( X n ) → E istf,f′ Xn N(0,1) für alle begrenzten stetigen Funktionen g . Fixing g , dies wird verwendet, um neu zu formulieren:Eg(Xn)→Eg(A) g g
wo man mit der grundlegenden ODE-Theorie nach auflöst und dann zeigt, dass f nett ist. Wenn wir also ein so schönes f finden können , geht das rhs unter der Annahme auf 0 und damit auch die linke Seite.f f f
3) Beweisen Sie schließlich den zentralen Grenzwertsatz für wobeiXiiid mit Mittelwert 0 und Varianz 1 ist. Dies nutzt erneut den Trick in Schritt 2 aus, wobeiwirfür jedesgeinf finden,so dass:Yn:=X1+⋯+Xnn√ Xi g f
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So würde ich es machen, wenn ich in der High School wäre.
Nehmen Sie eine beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Dichte , erhalten Sie den Mittelwert und die Varianz μ x , σ 2 x . Als nächstes approximieren Sie es mit der Zufallsvariablen z, die die folgende Form hat: z = μ x - σ x + 2 σ x ξ , wobei ξ die Bernoulli-Zufallsvariable mit dem Parameter p = 1f(x) μx,σ2x z
Nun können wir die Summe = n ( μ x - σ x ) + 2 σ x n ∑ i = 1 ξ i betrachten
Sie können die Binomialverteilung hier erkennen: , wobei ηη=∑ni=1ξi η∼B(n,1/2)
In mancher Hinsicht könnte man also sagen, dass der Bernoulli die ungenaueste Näherung für jede Verteilung ist und sogar zur Normalität konvergiert.
Sie können beispielsweise zeigen, dass die Momente normal sind. Definieren wir einen Blick auf die Variable:y=(Sn/n−μx)n−−√
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